Ответ.

1) Верхняя оценка. В любом выпуклом n-угольнике число острых внутренних углов не превосходит 3.

Доказательство. Пусть углы многоугольника равны α1,...,αn, и среди них k углов острые, т.е. для них αi < 90°. Для такого угла внешний (направленный) угол βi = 180° − αi > 90°. Сумма всех внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°, следовательно сумма внешних углов в острых вершинах меньше или равна 360°:
k·90° < сум(βi для острых) ≤ 360° ⇒ k < 4.
Отсюда k ≤ 3. Это завершает доказательство верхней границы.

2) Достижимость верхней границы. Пример с 3 острыми углами: возьмём острый треугольник (в нём 3 острых угла); если нужно построить n-угольник при n>3 с ровно тремя острыми углами, добавим на одном из его сторон (внутри этой стороны) дополнительные вершины очень близко друг к другу и к стороне так, чтобы в новых вершинах внутренние углы были близки к 180° (т.е. неострые), а три исходные острые вершины остались острыми. Получаем выпуклый n-угольник с ровно тремя острыми углами. Для n = 3 треугольник сам по себе даёт пример.

3) Нижняя оценка. Минимальное возможное число острых углов зависит от n:

n = 3: минимально 2 (в любом треугольнике по крайней мере два угла острые; если один угол ≥90°, то оставшиеся два <90°).n ≥ 4: минимально 0, т.е. возможны многоугольники без острых углов. Достаточно примеров:
• n = 4: квадрат (все углы по 90°) — 0 острых;
• n ≥ 5: правильный n-угольник имеет внутренний угол 180°(n−2)/n ≥ 108° > 90°, следовательно 0 острых.

4) Достижимость промежуточных значений (для n ≥ 4). Для любого n ≥ 4 достижимы любые числа острых углов 0,1,2,3.
Конструкции:

0: приведённый квадрат (n=4) или правильный n-угольник (n≥5).1,2,3: можно получить как малое отклонение от случая 0. Например, возьмём правильный n-угольник (все углы ≥90°) и «втиснём» в него в одной точке вершину так, чтобы там внутренний угол стал острым, а остальные углы при очень малом изменении остаются неострыми — получим 1 острый. Аналогично для 2 и 3: «втиснуть» 2 или 3 вершины в разные места или начать с острого треугольника (3 острых) и добавлять дополнительные вершины на одной стороне, как в пункте 2, чтобы не появлялись новые острые вершины.

Итого:

Для n = 3 возможны только 2 или 3 острых угла (минимум 2, максимум 3).Для n ≥ 4 минимально 0, максимально 3; все значения 0,1,2,3 достижимы.

Оптимальность верхней оценки доказана простым соотношением сумм внешних углов; минимальные примеры приведены явными конструкциями.