Нужно сначала прояснить, что именно задаётся: под «касательными к вписанной окружности, проведёнными из вершин B и C» обычно понимают те прямые, проходящие через вершины B и C и касающиеся вписанной окружности треугольника ABC. Но эти прямые в исходном треугольнике совпадают с сторонами AB и AC. Поэтому задача сводится к восстановлению треугольника по отрезку BC и двум прямым, проходящим через B и C и называемым в дальнейшем l_B и l_C (они должны быть касательными к искомой вписанной окружности, то есть — быть сторонами AB и AC).

Алгоритм (инструменты: линейка и циркуль)

Построить точку A как точку пересечения прямых l_B и l_C.
Если l_B и l_C не пересекаются (параллельны), то треугольник с требуемыми свойствами не существует.Если пересечение даёт A = B или A = C или A лежит на отрезке BC, то получается вырожденный треугольник; такие случаи отдельно считать допустимыми/недопустимыми в зависимости от формулировки задачи (обычно недопустимы).Точки A, B, C образуют искомый треугольник ABC. По построенному треугольнику естественным образом существует единственная вписанная окружность (центр — пересечение биссектрис), и стороны AB и AC являются касательными к этой окружности, как и требовалось.

Обоснование (правильность и кратность решений)

Корректность. Для любого невырожденного треугольника ABC прямые AB и AC действительно являются касательными к его вписанной окружности (вписанная окружность касается всех трёх сторон). Следовательно, если нам даны BC и прямые l_B, l_C, совпадающие с AB и AC, то построенный по шагу 1 треугольник ABC имеет искомую свойство.Единственность. При заданных BC, l_B и l_C возможный A однозначно определяется как их пересечение (если он существует и даёт невырожденный треугольник). Значит, в общем положении решение единственно.Существование. Решение существует тогда и только тогда, когда l_B и l_C пересекаются в точке A, отличной от B и C и не лежащей на отрезке BC (иначе треугольник вырожден). Если l_B ∥ l_C или их пересечение даёт вырожденную конфигурацию, решений нет в обычном (невырожденном) смысле.

Замечания и частные случаи

Если задача подразумевала под «касательными, проведёнными из вершин B и C» не сами стороны AB и AC, а какие‑то другие прямые, проходящие через B и C и касающиеся одной и той же окружности, то требование, чтобы обе эти прямые были касательными одной и той же окружности, автоматически выполняется для сторон любого треугольника, построенного их пересечением с BC, поэтому опять получается то же рассуждение.Если по условию заданы не сами прямые, а, например, точки касания на каких‑то окружностях или отрезки касательных, формулировка и строение решения могут измениться — тогда нужно уточнить, что именно задано.

Итого: при обычной интерпретации задача тривиальна: взять A = l_B ∩ l_C; при существовании такого пересечения и невырожденности треугольник ABC единственен.