Пусть даны две прямые l1 и l2 и положительное число k. Обозначим через d1(M)=d(M,l1) и d2(M)=d(M,l2) (модули расстояний, т.е. неотрицательные). Нас интересует геометрическое место точек M, для которых
|d1(M)| / |d2(M)| = k.

Удобно работать с знаковыми расстояниями (линейными функциями). Пусть уравнения прямых в виде L1(x,y)=0 и L2(x,y)=0, причём L1 и L2 нормированы так, чтобы |∇L1|=|∇L2|=1 (так L1(M) и L2(M) — ориентированные расстояния от M до соответствующих прямых). Тогда условие принимает вид
|L1(M)| = k |L2(M)|,
что эквивалентно двум линейным уравнениям
L1(M) = k L2(M) или L1(M) = -k L2(M).
Каждое из этих уравнений задаёт прямую (линейное однородное уравнение) — поэтому геометрическое место точек получается как объединение двух прямых (за исключением вырожденных случаев). Ниже все случаи подробно.

1) Прямые l1 и l2 пересекаются в точке O.

Обе ветви L1 = ± k L2 — это две прямые, проходящие через O. То есть множество решений — две прямые через точку пересечения.Особый случай k = 1: уравнения L1 = ± L2 дают внешнюю и внутреннюю биссектрисы углов, образованных l1 и l2 (стандартный факт: множество точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, — биссектрисы). Для k ≠ 1 линии остаются прямыми через O, не совпадающими с данными прямыми; угол между ними зависит от угла между l1 и l2 и от k.Можно записать явное выражение для направления этих прямых. Пусть направления l1 и l2 задаются углами α и β (углы нормалей или самих прямых — см. ниже). Тогда угловая координата φ прямой-решения удовлетворяет
|sin(φ-α)| = k |sin(φ-β)|,
или, без модуля, двум уравнениям sin(φ-α) = ± k sin(φ-β). Из этого получаем явную формулу
tan φ = (sinα ∓ k sinβ)/(cosα ∓ k cosβ),
дающую два значения φ (два решения), при условии ненулевого знаменателя. При k=1 эти φ дают φ = (α+β)/2 и φ = (α+β)/2 + π/2 (внутренняя и внешняя биссектрисы).

2) Прямые l1 и l2 параллельны (различные).

Пусть нормаль n общая для обеих прямых, и L1 = n·x + c1, L2 = n·x + c2. Уравнение |L1| = k |L2| даёт два решения для переменной t = n·x:
(i) n·x = (k c2 - c1)/(1-k), (если k ≠ 1),
(ii) n·x = -(k c2 + c1)/(1+k).
Эти две формулы задают две прямые, параллельные l1 и l2 (смещение вдоль нормали). Если k=1, первая формула вырождается (деление на 0) и не даёт решения; остаётся только вторая формула, которая даёт одну прямую — среднюю параллельную (множество точек, равноудалённых от двух параллельных прямых).Таким образом: при k ≠ 1 — две параллельные прямые, при k = 1 — одна средняя параллельная прямая.

3) Прямые совпадают (l1 ≡ l2).

Тогда d1(M) = d2(M) для всех M. Если k = 1, множество решений — вся плоскость. Если k ≠ 1, решений нет.

Короткий интуитивный вывод и свойства

В общем случае абсолютные значения приводят к двум линейным соотношениям L1 = ± k L2, поэтому геометрическое место — объединение двух прямых (через точку пересечения или параллельных данным), за исключением вырожденных ситуаций, перечисленных выше.При k = 1 получаем стандартные биссектрисы (пересекающиеся прямые) или среднюю параллельную (параллельные прямые) либо всю плоскость (совпадающие прямые).При замене k на 1/k получаем тот же набор прямых (просто меняется соответствие уравнений), т.е. ситуация симметрична относительно замены мест l1 и l2.

Если нужно, могу привести наглядные формулы в координатах для конкретных уравнений прямых l1, l2, а также несколько иллюстраций (координатные примеры) для различных k и углов между прямыми.