Ниже — сравнение трёх подходов к доказательствам в евклидовой геометрии (синтетический, декартовы координаты, векторы/барицентрические координаты) с одним и тем же наглядным примером и практическими рекомендациями по выбору метода.

1) Пример-утверждение (одно и то же доказываем тремя способами)
Утверждение: в любом треугольнике ABC медианы пересекаются в одной точке G (центроид), причём G делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины (AG : GM = 2 : 1).

A. Синтетическое доказательство (массовые точки / классическое)

Медиана — отрезок от вершины до середины противоположной стороны. Пусть M — середина BC, N — середина AC, P — середина AB.Рассмотрим треугольники AMN и ABC: стороны AM и AN — медианы, поэтому AM : MB = AN : NC = 1 : 1 относительно соответствующих сторон. Применив подобие/параллельность (или положив массы 1 в вершины B и C и массу 2 в A), получаем, что медианы пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1.Кратко: можно использовать аргумент с параллельными строками или mass points: положив массы 1 в B и C, в точке M суммарная масса 2, чтобы равновесие в вершине A требует в A массы 2, откуда отношение 2:1.

Комментарий: синтетический путь даёт быстрое «интуитивное» доказательство без вычислений и подчёркивает геометрический смысл (симметрия, подобие, равновесие масс).

B. Декартовы координаты

Положим A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3). Тогда середина BC: M((x2+x3)/2, (y2+y3)/2).Уравнение медианы из A в M: параметрически — A + t(M − A). Медиана из B в N (N середина AC) — B + s(N − B).Пересекая их (решив систему для t и s) получаем точку
G = ( (x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3 ).Из координат видно прямо, что G лежит на медиане и что расстояние вдоль медианы от A до G равно 2/3 от AM, т.е. отношение 2:1.

Комментарий: метод прямой и однозначный; хорош, когда нужны координаты точки, расстояния, уравнения линий. Минус — много алгебры для общих треугольников; однако для аффинных свойств (отношения деления, центроиды) расчёты часто очень просты.

C. Векторы / барицентрические координаты

Векторный подход: представить вершины треугольника как векторы a, b, c. Медиана из A идёт в точку (b + c)/2. Точка пересечения медиан (центроид) — решение уравнения
g = a + t((b + c)/2 − a) = b + s((a + c)/2 − b) = c + u((a + b)/2 − c).
Простое вычисление даёт g = (a + b + c)/3.Барицентрически: центроид имеет барицентрические координаты (1 : 1 : 1), что сразу показывает и коллинеарность и отношение 2:1 (при нормировке по координате вершины становится 1/3).

Комментарий: для аффинных задач (сумма вершин, деление отрезков, параллелизм) векторный(аффинный) и барицентрический методы обычно короче и понятнее.

2) Сравнение методов: когда что удобно

Синтетический метод

Сильные стороны: краткость и «человеческая» наглядность; мощен при задачах на угол, симметрию, вписанность/описанность, подобие, классические теоремы (Пифагор, теорема синусов/косинусов в применении к конструкции) и при использовании инверсии/проективной геометрии.Слабые стороны: бывает трудно формализовать длинные рассуждения, тяжело работать с числовыми величинами (точные длины, уравнения), если конфигурация сложна — доказательство может стать запутанным.Примеры задач: доказательство равенств углов и равенств отрезков в симметричных конфигурациях, задачи на окружности, подобие и классические леммы.

Декартовы координаты

Сильные стороны: прямолинейны для задач с расстояниями, углами (через скалярное произведение), уравнениями прямых/окружностей, задач на loci (множества точек), жёсткая проверка равенств числовых выражений.Слабые стороны: вычисления могут быть громоздкими; при неудачном выборе системы координат — большая алгебра; геометрическая интуиция хуже заметна.Примеры задач: нахождение координат центров (ортроцентр, центроиды, центр описанной окружности), уравнения пересечения прямых/окружностей, задачи с конкретными числовыми данными.

Векторы / барицентические / аффинные координаты

Сильные стороны: очень удобны для аффинных свойств (медианы, параллелограммы, центроиды), для задач на деление отрезков, для компактной записи условий коллинеарности и соотношений. Барицентрические и триленарные координаты особенно удобны при задачах, где важны отношения отрезков на сторонах, области и центры треугольника (Ceva, Menelaus, центра треугольника, пересечения чевиан).Слабые стороны: формулы барицентрических координат и перевод в обычные расстояния могут быть тяжёлыми; требует привыкания к алгебраической записи геометрических условий; плохо справляются с чисто метрическими углами (если нужен угол, проще скалярные произведения или комплекс).Примеры задач: Ceva/Menelaus (конкуренция чевиан), выражение координат центров (например, барицентрические координаты центра тяжести, инцентра, симедичного центра), проблемы с отношениями площадей.

3) Где возникают трудности у каждого метода

Синтетика: когда конфигурация становится «алгебраической» (много дробей, сложные отношения), либо требуется нахождение точного аналитического выражения. Иногда синтетическое доказательство долго искать.Декартовы: при больших выражениях легко сделать ошибку в алгебре; неэффективен для доказательства чисто относительной или проективной инвариантности (где случайные аффинные преобразования облегчили бы задачу).Барицентрические/векторные: возможны громоздкие формулы при переводе в метрику; барицентрические координаты при работе с окружностями и углами требуют дополнительных преобразований.

4) Критерии выбора метода (короткий чек-лист)

Нужно ли получить явные координаты/числа/уравнения? → выбирайте декартовы координаты (или комплексные числа).Речь идёт о соотношениях деления отрезков, о чевианах, о соотношениях площадей, о центрах треугольника? → барицентрические / векторные / mass points.Проблема про углы, вписанные/описанные окружности, симметрию, замкнутые конструкции? → синтетика (инверсии, теоремы о вписанных углах).Свойство аффинно-инвариантно (сохранится при параллельных проекциях, сумма векторов)? → векторы/аффинные преобразования проще всего.Нужна короткая «красивaя» олимпиадная формулировка? → попытайтесь сначала синтетически; если не удаётся — переходите к барицентрикам/координатам.Хотите формальное подтверждение (computer-algebra)? → координаты/векторы однозначно лучше.

5) Примеры дополнительных ситуаций и предпочтительный метод

Ceva/Menelaus, задачи на пропорции вдоль сторон: барицентрические / mass points.Локусы точек (множества точек, удовлетворяющих условию PA/PB = const): декартовы (или комплексные) координаты; иногда барицентрические переводятся в уравнение круга (Апполоний).Свойства окружностей/углов/симедиан/симметрии: синтетические при наличии «знаковых» теорем (Теорема Чевы/Менелая, Теорема Птолемея, теорема синусов/косинусов).Связи между центрами треугольника (Euler line, отношение O, H, G): векторный или декартовский — компактно.

6) Практические рекомендации при решении задач

Сначала подумайте: есть ли симметрия или очевидный подход «без вычислений»? Если да — попытайтесь синтетику.Если видите много отношений и сумм вершин — запишите векторы/барицентрические координаты.Если задача требует уравнений прямых/кругов или проверку ортогональности, наберите координаты (подберите систему, упрощающую вычисления: например, положить одну сторону на ось Ox, или центр описанной окружности в начало координат).Не боитесь перейти в другой метод, если первый стал громоздким — часто комбинируют: синтетическая идея + координатная реализация.

7) Заключение (сравнительная сводка)

Синтетический метод — лучший для элегантности и понимания геометрического смысла; экономит время при удачной идее.Декартовы координаты — лучший «тяжёлый инструмент» для детальной проверки, вычисления и задач с уравнениями/локусами/углами через скалярные произведения.Векторы / барицентрические координаты — наиболее удобны для аффинных свойств, работы с соотношениями на сторонах, площадями и при исследовании центров треугольника.

Если хотите, могу разобрать ещё одно конкретное утверждение (например, свойство симедиан, правило Чевы в координатах или доказательство линии Эйлера) тремя способами, чтобы наглядно показать, как методы различаются по длине и «чистоте» решения. Для примера скажите, какое утверждение интересует.