Пусть MABCD — пирамида, B1 ∈ MB, C1 ∈ MC, D1 ∈ MD. Заметим сначала общее: в пространстве через заданную точку проходит ровно одна прямая, параллельная данной прямой, и чтобы построить её удобно пользоваться плоскостями, содержащими ребра пирамиды.

a) CD, CD1, MD.

Точки M, C, D задают плоскость MCD, причём C1 ∈ MC ⊂ MCD, а прямые CD, CD1 и MD лежат в этой плоскости. Значит все три искомые прямые проводят в плоскости MCD через C1: провести в плоскости MCD через C1 прямую, параллельную CD; провести через C1 прямую, параллельную CD1; провести через C1 прямую, параллельную MD. (Первая и вторая пересекут отрезок MD в некоторых точках, третья — параллельна MD.)

b) AD1.

Прямая AD1 лежит в плоскости AMD (A, M, D1 ∈ этой плоскости). Чтобы через C1 провести прямую, параллельную AD1, сначала построим плоскость через C1, параллельную плоскости AMD. Для этого достаточно через C1 провести две непараллельные прямые, каждая параллельна соответствующей прямой в плоскости AMD. Например:
1) через C1 уже можно провести прямую, параллельную MD (см. пункт a);
2) через C1 провести прямую, параллельную MA (C1 ∈ MC, а MA и MC задают плоскость MAC, поэтому в ней можно через C1 провести параллельную MA). Эти две параллельные соответствующие прямые задают плоскость через C1, параллельную плоскости AMD. В этой плоскости провести через C1 прямую, параллельную AD1 — это и есть искомая прямая.

в) AB1.

Аналогично: AB1 лежит в плоскости AMB. Чтобы построить через C1 прямую, параллельную AB1, сначала построим плоскость через C1, параллельную плоскости AMB. Для этого достаточно через C1 провести две непараллельные прямые, параллельные, соответственно, MA и MB:
1) через C1 провести прямую, параллельную MA (в плоскости MAC);
2) через C1 провести прямую, параллельную MB (в плоскости MBC). Эти две прямые задают плоскость через C1, параллельную AMB; в ней провести через C1 прямую, параллельную AB1 — получим требуемую прямую.

Во всех случаях такая прямая единственна.