Пусть l1 и l2 пересекаются в точке O; угол между ними равен α (0<α<π). Выберем декартову систему координат с началом в O и с осью Ox, совпадающей с внутренней биссектрисой угла между l1 и l2. Тогда прямые имеют уравнения
l1: y = x·tan(α/2), l2: y = −x·tan(α/2).
Обозначим t = tan(α/2), γ = cos(α/2). Расстояния от точки P(x,y) до этих прямых равны
ρ1 = |y − t x|·γ, ρ2 = |y + t x|·γ.
Условие |ρ1 − ρ2| = c эквивалентно
| |y − t x| − |y + t x| | = c/γ. Обозначим k = c/γ (k ≥ 0).

Рассмотрим четыре знакопостоянные области (знаки выражений y − t x и y + t x):
1) если y − t x и y + t x имеют один и тот же знак, то | |y−tx|−|y+tx| | = |(y−tx)−(y+tx)| = 2t|x|, и условие даёт
|x| = k/(2t) = c/(2 sin(α/2)).
2) если y − t x и y + t x имеют противоположные знаки, то выражение равно |(y−tx)+(y+tx)| = 2|y|, и условие даёт
|y| = k/2 = c/(2 cos(α/2)).

Учитывая ограничения знаков, получаем следующее геометрическое место точек.

Ответ (характеристика и координатное задание):

Для c = 0 множество совпадает с двумя биссектрисами угла (Ox и Oy — внутренней и внешней биссектрисами).Для c > 0 множество P — это объединение четырёх лучей, исходящих из четырёх точек-«углов» с координатами
(±A, ±B), где
A = c/(2 sin(α/2)), B = c/(2 cos(α/2)).
Конкретно:
две вертикальные прямые x = ±A, но на них берутся только точки с |y| ≥ B (две лучевые ветви вверх и вниз от точек (±A, ±B));две горизонтальные прямые y = ±B, но на них берутся только точки с |x| ≥ A (две лучевые ветви влево и вправо от тех же точек).
Иначе, в координатной форме в выбранной системе:
множество решений — это объединение точек, удовлетворяющих либо
x = ± c/(2 sin(α/2)), |y| ≥ c/(2 cos(α/2)),
либо
y = ± c/(2 cos(α/2)), |x| ≥ c/(2 sin(α/2)).

Зависимость от параметров:

При c = 0 получаем биссектрисы.При c > 0 получаем четыре луча, расстояния от O до «вершин» этих лучов растут линейно с c (A ∝ c, B ∝ c). При малом α (α → 0) sin(α/2) → 0 и A → ∞: «вертикальные» ветви удаляются сильно от O; при α → π аналогично B → ∞. При α = π/2 (прямой угол) A = B = c/√2 и фигура симметрична (четыре луча исходят из вершин квадратной клетки).Нет гипербол или кривых второго порядка: геометрическое место — кусочно-линейная конструкция (четыре луча), переходящая при c→0 в пару биссектрис.

(Если хочется уравнение в произвольной декартовой системе: пусть l1: a1 x + b1 y = 0, l2: a2 x + b2 y = 0; тогда ρ1 = |a1 x + b1 y|/√(a1^2+b1^2), ρ2 = |a2 x + b2 y|/√(a2^2+b2^2) и условие |ρ1−ρ2|=c даёт явное модульное уравнение, эквивалентное разбитому по знакам описанию выше.)