Короткий ответ. Пусть ABC — остроугольный треугольник, P — фиксированная точка внутри. Множество центров всех окружностей, которые проходят через P и касаются стороны (или прямой, содержащей сторону) α (например, AB), равно параболе с фокусом P и директрисой α. Поэтому множество центров всех окружностей, проходящих через P и касающихся хотя бы одной стороны треугольника, — объединение трёх парабол: каждая парабола имеет фокус в P и директрису одну из сторон AB, BC, CA.

Доказательство (жёсткое). Для центра O такой окружности радиус r = OP, одновременно r = расстояние от O до прямой α (радиус = расстояние от центра до прямой касания). Следовательно
OP = dist(O, α),
а это как раз определение параболы с фокусом P и директрисой α.

Основные геометрические свойства и следствия

1) Ось и вершина каждой параболы. Ось параболы — перпендикуляр к соответствующей стороне, проходящий через P. Если H — основание перпендикуляра из P на сторону α, то вершина V параболы — середина отрезка PH (т.к. вершина параболы находится на расстоянии = половине расстояния от фокуса до директрисы). В силу того, что треугольник остроугольный и P внутри, H лежит на отрезке стороны, и вершина V тоже лежит внутри треугольника.

2) Центры окружностей, касающихся двух сторон. Если окружность касается двух сторон, скажем AB и AC, то её центр O одновременно лежит на двух параболах (для AB и для AC). Но из равенства dist(O,AB)=dist(O,AC) следует, что O лежит на биссектрисе угла A (внутренней или внешней). Пересечение соответствующей биссектрисы с параболой даёт решения уравнения OP = dist(O,AB) на одной прямой, то есть не более двух точек. Следовательно для каждой вершины (пары сторон) существует не более двух центров окружностей, проходящих через P и касающихся именно этих двух сторон. Всего таких центров не более 6 (по две для каждой пары сторон).

3) Центр, касающийся всех трёх сторон (инцентр/эксцентры). Центр окружности, касающейся всех трёх прямых AB, BC, CA, — это либо инцентр I, либо один из эксцентров. Такой центр O одновременно лежит на трёх параболах, т.е. должен удовлетворять OP = r, где r — (экс)радиус. Поэтому существует окружность, касающаяся всех трёх сторон и проходящая через P тогда и только тогда, когда P лежит на соответствующей (экс)окружности инцентра. Иначе говоря: окружность, касающаяся всех трёх сторон и проходящая через P, существует только в дискретных случаях — когда P лежит на инкружности или на какой‑то из трех эксокружностей.

4) Число пересечений и общие положения. Две разные параболы (для двух сторон) имеют не более двух общих точек, и эти общие точки лежат на биссектрисах соответствующего угла (см. п.2). Общая геометрия может давать 0, 1 или 2 решений для каждой пары сторон в зависимости от положения P:

если P очень близко к вершине A, возможно две разные окружности, касающиеся AB и AC и проходящие через P;если P лежит на биссектрисе и симметрия усиливается, решения могут совпадать (кратный корень);если P расположен так, что уравнение не имеет действительных корней — нет центров, которые касались бы одновременно двух заданных сторон и проходили через P.

5) Поведение при перемещениях P. При непрерывном движении P параболы меняют положение и форму (они «перекатываются» вдоль перпендикуляров к сторонам). В предельном случае, когда P приближается к стороне α, вершина соответствующей параболы стремится к точке на стороне (середине между P и её проекцией), парабола становится «мелкой» возле стороны. Если P совпадает с инцентром, три параболы симметричны относительно биссектрис, пересечения могут дать дополнительные симметрии.

Итого: геометрическое место центров — это три параболы (фокус P, директрисы — три стороны треугольника). Пересечения этих парабол с биссектрисами дают дискретные центры окружностей, касающихся одновременно двух сторон (не более двух на пару сторон); касание всех трёх сторон возможно лишь в исключительных дискретных случаях (P лежит на инкружности или на одной из эксокружностей).