Кратко напомню главное свойство проективного преобразования плоскости: это биективное отображение точек проективной плоскости, которое сохраняет прямые (любой образ прямой — прямая) и все чисто проектные отношения (инцидентность, коллинеарность, конкуренцию, кватрорацио и т. п.). Отсюда вытекают подробности для двух ваших наборов фигур.

Общие инварианты при проективном отображении

Сохраняется факт того, что точки лежат на одной прямой (коллинеарность) и что прямые пересекаются (инцидентность, конкуренция). Сохраняется касание (если кривая и прямая (или две кривые) касаются в данной точке, их образы тоже касаются; сохраняется порядок касания). Проективное отображение переводит коники в коники (в частности, окружности — в общих случаях в эллипсы/параболы/гиперболы). Сохраняется отношение попарных пересечений: число общих точек двух кривых и их кратности (теоретико-алгебраическое пересечение). Сохраняется кросс-отношение (кросс-рацио) для четырёх коллинеарных точек и кросс-отношение четырех прямых, исходящих из одной точки; сохраняются гармонические деления.

Что в общем не сохраняется

Геометрические метрики: длины, площади, углы в общем случае не сохраняются. Параллельность прямых не обязана сохраняться (она сохраняется только для аффинных подклассов проективных отображений — когда образ линии на бесконечности остаётся линия на бесконечности). Центр, радиус и вообще понятия «окружность» и «центр окружности» не сохраняются: окружность превращается просто в конику.

1) Набор параллельных отрезков

Исходно все прямые, содержащие эти отрезки, параллельны и пересекаются в одной точке на линии бесконечности. Проективное отображение переводит эту линию бесконечности в некоторую (обычно) финитную прямую; следовательно, образы параллельных прямых станут прямыми, которые пересекаются в одной общей точке — то есть станут лучами одной пучковой системы (конкурирующими в одной точке), если образ линии бесконечности — конечная прямая. В частном случае, когда образ линии бесконечности снова линия бесконечности (а отображение аффинно), параллельность сохранится. Углы между исходными параллельными отрезками: поскольку параллельные отрезки имеют нулевой угол между ними, их образы будут прямыми, проходящими через одну точку, но угол между ними в общем случае будет отличен от нуля. Иначе говоря, нулевой угол не обязательно остаётся нулевым. Углы в общем не инвариантны. Длины отрезков: не сохраняются. На каждой прямой проективное отображение задаёт дробно-линейный (проективный) отображение параметра; потому отношение длин двух отрезков, лежащих на одной прямой, в общем случае не сохраняется. Сохранение отношений отрезков (деления отрезка) происходит только для аффинных отображений (аффинная часть проективных). Но кросс-рацио четырёх точек на одной прямой сохраняется. Поэтому любые утверждения о длинах и долях «в абсолютном смысле» теряют смысл при общем проективном преобразовании. Инварианты для этой ситуации: если вы возьмёте четыре концы отрезков, лежащие на одной транверсали, то кросс-рацио этих четырёх точек инвариантно; также если отрезки образуют гармоническое деление, это сохранится.

Пример интуитивный: «перспектива» (сверху в одну точку) превращает параллельные рельсы в лучи, сходящиеся в точке перспективы; углы между рельсами в изображении произвольны, длины рельс на изображении не соответствуют реальным длинам.

2) Набор концентрических окружностей

Окружность — частный случай коники; все окружности имеют общие два «кружочных» (circular) бесконечно удалённые комплексные точки (так называемые круговые точки на бесконечности). Поэтому семейство всех окружностей одинакового центра — это одномерная линейная система (пучок, pencil) коник, которые в проективной интерпретации имеют общие базовые точки (в данном случае — две круговые точки на бесконечности). Под действием общего проективного преобразования каждая окружность переходит в некоторую конику; так как все исходные окружности проходили через одни и те же две круговые точки, их образы будут проходить через образы этих двух точек. То есть семейство концентрических окружностей переходит в семейство коник, имеющих две общие точки — т. е. в проективном смысле остаётся «пучком» коник (коаксальная система). Эти две общие точки в общем будут расположены в каких‑то (возможно комплексных) точках плоскости. Иными словами, concentric circles → pencil of conics (с общими двумя базисными точками). Центр и радиусы: как такие не сохраняются. В образе не будет «центра» в том же смысле, и радиусы не имеют проективного аналога. Касательные и касание: если две окружности касались (вручную это случается лишь при совпадении радиусов или в пределе), касание как порядок пересечения сохраняется. Но ортогональность (прямой угол между окружностями) вообще не сохраняется. Если преобразование аффинное ортодинамичное (подобие/изометрия), то окружности снова будут окружностями и концентричность сохранится. В общем же случае вы получите эллипсы/гиперболы/параболы, все принадлежащие одному пучку (совпадающие по двум общим точкам). Инварианты для семейства: структура пучка (все члены семейства имеют одни и те же две базовые точки) и отношения пересечений членов с любой фиксированной прямой/кривой (включая кросс‑рацио при пересечении четырёх членов пучка в одной точке) — это проективные инварианты.

Пример: перспективное проектирование с плоскости на другую может перевести систему концентрических окружностей в семейство эллипсов, все проходящие через две фиксированные точки (образ круглых бесконечно удалённых точек).

Краткий свод (что сохраняется / что нет)

Сохраняется: инцидентность (точка на прямой), коллинеарность, конкуренция прямых, касание (и порядок касания), проективные отношения (кросс‑рацио), перевод коник в коники, пучковая структура (семейство коник с общими базовыми точками). Не сохраняется в общем: длины, углы, параллельность (только при аффинных), центры/радиусы окружностей, круглая форма как таковая (окружности могут превратиться в общие коники).

Если нужно, могу привести конкретные матричные примеры (3×3 матрицы) проективных отображений, показывающие (а) как параллельные отрезки переходят в сходящиеся; (б) как концентрические окружности переходят в эллипсы, и вычислить образы нескольких точек (исходные координаты → координаты после преобразования), чтобы наглядно увидеть, какие числа/углы меняются.