Короткий ответ (суть). Пусть параллелепипед задаётся тремя векторами-ребрами из одной вершины a, b, c. Тогда центры противоположных граней образуют пары точек, разность которых равна одному из этих векторов. Следовательно расстояния между центрами трёх пар противоположных граней равны просто длинам соответствующих рёбер:
d_a = |a|, d_b = |b|, d_c = |c|.

Доказательство.

Рассмотрим одну из граней, спанируемую векторами b и c; её вершины (при взятом начале в общей вершине) — 0, b, c, b + c. Центр этой грани — середина диагоналей: (b + c)/2.Противоположная этой грани грань — та же плоскость, сдвинутая на вектор a; её центр = a + (b + c)/2.Вектор между центрами равен
(a + (b + c)/2) − (b + c)/2 = a,
отсюда расстояние между центрами = |a|.
Аналогично для пар граней, параллельных a×b (сдвиг c) и a×c (сдвиг b): расстояния равны |c| и |b| соответственно.

Запись через длины рёбер и углы.
Если заданы длины рёбер A = |a|, B = |b|, C = |c| и углы между ними
α = ∠(b,c), β = ∠(c,a), γ = ∠(a,b),
то расстояния между центрами противоположных граней просто равны A, B, C (т. е. выражаются напрямую через длины рёбер; никакой более сложной формулы не требуется). Углы здесь не нужны, они влияют на форму граней, но не на расстояние между центрами противоположных граней.

Частные случаи.

Прямоугольный параллелепипед (все углы 90°): тот же результат — расстояния между центрами противоположных граней равны длинам трёх ортогональных рёбер (a, b, c).Куб (A = B = C = s, все углы 90°): все три расстояния равны s (длине ребра).

Дополнительные наблюдения.

Центр всей параллелепипеда (центр масс) находится в точке (a + b + c)/2; центра грани — отцентрованное смещение на половину соответствующего ребра.Если требуется расстояние между центрами не противоположных, а каких-либо двух произвольных граней, тогда нужно брать разность соответствующих векторных положений центров и вычислять её длину.

Практические методы измерения в реальном объекте.

Прямое измерение ребра. Поскольку расстояние между центрами противоположных граней равно длине соответствующего ребра, самый простой способ — измерить это ребро обычной рулеткой/штангенциркулем/лазерной рулеткой.Если ребро недоступно, но доступны грани:
Найдите центр каждой грани как пересечение диагоналей (на поверхности грани провести/измерить диагонали или отметить их концы и найти средние точки).Измерьте расстояние между этими двумя центрами прямой рулеткой или лазерным дальномером.Если можно измерять координаты:
Измерьте координаты трёх несмещённых соседних вершин (например, общей вершины и ещё двух по рёбрам) в некоторой системе. Вектор ребра тогда вычисляется по разности координат; его длина даёт искомое расстояние.Для большей точности применяют 3D-сканер, фотограмметрию или координатно-измерительную машину (CMM).Наблюдения по точности:
На большой или грубой модели удобней лазерная рулетка или 3D-сканирование.На малых точных деталях — штангенциркуль, микрометр или координатная измерительная система.Если грани деформированы/непараллельны идеалу, центры диагоналей могут не совпадать; тогда полезно усреднять несколько измерений или использовать метод наилучшего приближения по облаку точек.

Короткая инструкция для измерения на объекте:

Выберите пару противоположных граней.На каждой грани найдите точку пересечения диагоналей (или измерьте координаты, найдите среднее).Измерьте расстояние между этими двумя точками (рулеткой/лазером/штангенциркулем) — это и есть искомое расстояние.

Итог: формула проста и красива — расстояние между центрами противоположных граней равно длине того ребра, которым эти грани разделены.