Ниже — компактное, но строговидное описание множества точек P на плоскости, для которых расстояния до трёх заданных непересекающихся окружностей C1(C1,r1), C2(C2,r2), C3(C3,r3) находятся в заданном отношении
d1 : d2 : d3 = k1 : k2 : k3
(под dk понимается обычное кратчайшее расстояние от точки P до окружности Ck, т.е. dk = ||PCk| − rk|). Покажу общую алгебраико-геометрическую структуру множества решений и разбор вырождений и изменений при изменении коэффициентов.

1) Переход к уравнениям.
Обозначим Ci = центр i‑й окружности, ri — её радиус, Di(P) := ||PCi| − ri| — расстояние от P до i‑й окружности. Условие d1:d2:d3 = k1:k2:k3 эквивалентно существованию λ ≥ 0 такого, что
D1 = λ k1, D2 = λ k2, D3 = λ k3.
Отсюда достаточно двух независимых соотношений, например
D1/D2 = k1/k2, D1/D3 = k1/k3.
Каждое соотношение вида Di/Dj = const (или | |PCi| − ri | = μ | |PCj| − rj |) содержит абсолютные значения. Разделим плоскость на клетки по положению точки относительно окружностей (внутри/снаружи каждой окружности). Для фиксированной комбинации знаков (например, |PCi| − ri ≥ 0 или < 0 для каждого i) абсолютные значения устраняются и получаем соотношение вида
±|PC1| ± α |PC2| = const,
где |PCi| — евклидово расстояние до центра Ci, α > 0 — заданное число, const — число, зависящее от ri и коэффициентов k. То есть в каждой фиксированной знаковой области уравнение становится уравнением с корнями вида sqrt((x − xi)^2 + (y − yi)^2).

2) Алгебраическая степень и общее положение.
Возьмём для простоты пару окружностей и соотношение
|PC1 − r1| = k |PC2 − r2|.
После раскрытия конкретных знаков и возведения в квадрат дважды получаем алгебраическое уравнение в x,y степени не выше 4. Действительно:
(PC1 − r1)^2 = k^2 (PC2 − r2)^2
→ выражение содержит термины PC1^2, PC2^2 (которые дают квадратичные в x,y), но также линейные в PC1 и PC2: после одной квадратизации остаётся термин с sqrt((x − xj)^2+(y − yj)^2); изоляция и вторая квадратизация даёт полиномиальное уравнение степени ≤ 4. В частных случаях (см. далее) степень понижается до 2 или 1.

Итак: для фиксированной знаковой комбинации соотношение Di/Dj = const задаёт алгебраическую кривую степени ≤ 4 (обычно степ. 4). Для трёх окружностей исходная система даёт две независимые такие кривые (по выбору двух независимых отношений), следовательно множество решений — пересечение двух алгебраических кривых степени ≤ 4. По теореме Безу в общем положении число изолированных комплексных пересечений ≤ 4·4 = 16; на действительной плоскости число действительных решений тоже конечна и ≤ 16, за исключением случаев, когда кривые имеют общий (не содержащийся везде) компонент.

Таким образом:

в общем положении (нет общей компонентности, нет вырождений) множество решений — конечное (не более 16 точек);если существуют общие непрерывные компоненты, то множество является объединением конечного числа непрерывных ветвей (компонент алгебраических кривых степени ≤ 4), обычно — окружностей, линий или более общих алгебраических кривых степени 2 или 4.

3) Вырождения и удобные частные случаи.
Некоторые частные случаи существенно проще:

a) ri/ rj = ki/kj (для пар i,j). Если, например, r1 = (k1/k2) r2, то в соответствующей знаковой области правая константа в уравнении становится нулём, и получаем PC1 = (k1/k2) PC2, т.е. отношение расстояний до центров равно константе — это классическое уравнение Апполония, дающее окружность (если коэффициент ≠ 1) или прямую (если = 1 и центры различны). Следовательно для этих специальных соотношений параwise уравнение даёт окружность (или линию) степ.1–2, и пересечение двух таких окружностей/линий может давать непрерывные кривые (если совпадают) или множество точек (обычно ≤2).

b) k1/k2 = 1 (равенство коэффициентов для двух окружностей). Тогда уравнение сводится к PC1 − PC2 = r1 − r2 (после выбора знаков), что даёт гиперболу (разность расстояний до центров постоянна) — коника степени 2. Опять же пересечение двух коник даёт обычно ≤4 точек, но может дать и бесконечно много в вырожденных случаях.

c) Внешние/внутренние знаки. Если точка переходит через окружность Ci (PCi = ri), то в одной и той же непрерывной ветви меняется знак |PCi − ri| и, следовательно, тип уравнения (форма кривой) может измениться — это источники бифуркаций при изменении коэффициентов.

4) Поведение при варьировании коэффициентов k1:k2:k3.

В общем положении при плавном изменении коэффициентов алгебраические кривые степ. ≤4 будут деформироваться непрерывно; их пересечения (решения) также деформируются и обычно двигаются непрерывно по параметру. При некоторых критических значениях коэффициентов две ветви становятся касательными либо появляется/исчезает общее решение парами — типичны бифуркации рождения/уничтожения пар комплексно-сопряжённых решений или пар действительных решений.Когда параметры проходят через такие значения, при которых одна из пар переносится в вырожденный случай (см. пункт 3: r1 = (k1/k2) r2 и т.п.), степень кривой снижается и может появиться непрерывная компонента (например, Apollonius‑окружность); при дальнейшем изменении коэффициентов эта компонента может распадаться на конечный набор точек.При стремлении некоторого коэффициента к 0 или к ∞ мы получаем вырожденные требования вида Di = 0 (точка лежит на соответствующей окружности) или относительное доминирование одного расстояния — это даёт дополнительные описания пределов.

5) Итоговое утверждение (формулировка теоремы).
Пусть заданы три непересекающиеся окружности C1, C2, C3 с центрами Ci и радиусами ri, и задано отношение k1:k2:k3 > 0. Тогда множество точек P плоскости, для которых D1:D2:D3 = k1:k2:k3, удовлетворяет следующим свойствам:

Множество является объединением не более чем конечного числа компонент, каждая из которых либо изолированная точка, либо непрерывная ветвь алгебраической кривой степени ≤ 4 (полиномиальное уравнение в x,y степени ≤ 4 получается после удаления абсолютных значений и двойного возведения в квадрат).В общем положении (без совпадений и вырождений) это множество конечно (не более 16 действительных точек), поскольку оно есть пересечение двух алгебраических кривых степени ≤ 4.При специальных (вырожденных) значениях коэффициентов (например, ri/ rj = ki/kj для некоторой пары) некоторые из этих кривых понижают степень (до 2 или 1), и тогда множество решений может содержать непрерывные компоненты (окружности, прямые, коники). Переходы между типами происходят при бифуркациях, когда две кривые становятся касательными или делят общий компонент.

6) Комментарии и иллюстрации.

На практике для конкретных данных (координаты центров, радиусы, коэффициенты) алгоритм таков: выписать два независимых уравнения вида | |PCi| − ri | = λ ki, исключить λ (получив два уравнения с абсолютными значениями), рассмотреть все совместимые комбинации знаков (внутри/снаружи окружностей), в каждой клетке раскрыть знаки, получить два уравнения со стационарными корнями, возвести в квадрат (при необходимости дважды), получить пару полиномиальных уравнений степени ≤ 4 и найти их пересечение (алгебраически или численно). Это даёт все решения и отображает поведение при изменении ki.Геометрически: ожидайте либо конечный список точек (обычный случай), либо аккуратные окружности/гиперболы/составные алгебраические кривые при совпадениях коэффициентов.

Если хотите, могу:

привести подробное алгебраическое развернутое доказательство степени ≤ 4 для одного из парных уравнений (последовательность раскрытий и возведений в квадрат),разобрать конкретный пример с числовыми данными и показать, как меняется множество при изменении коэффициентов,построить схематические рисунки нескольких типичных ситуаций.