Утверждение неверно.

Контрпример (минимально простой). Рассмотрим выпуклый четырёхугольник со сторонами, идущими по порядку, длины 1, 1, 1, 2. Периметр P = 5, P/2 = 2.5. Диагональ делит периметр на суммы двух последовательных сторон:

для диагонали, соединяющей 1‑ю и 3‑ю вершины, одна часть периметра = 1+1 = 2, другая = 1+2 = 3;для диагонали, соединяющей 2‑ю и 4‑ю вершины, одна часть = 1+1 = 2, другая = 2+1 = 3.

Ни одна из частей не равна 2.5, следовательно, ни одна диагональ не делит периметр пополам. Так как у четырёхугольника есть диагонали, это минимально возможный (по числу вершин) контрпример — у треугольника диагоналей нет.

Замечание о существовании такого четырёхугольника: достаточно, что самая длинная сторона меньше суммы трёх остальных (2 < 1+1+1), значит существует выпуклый (даже циклический) четырёхугольник с такими длинами сторон.

Когда утверждение верно. Точную необходимо‑достаточную формулировку можно дать так: в выпуклом n‑угольнике диагональ между вершинами i и j делит периметр пополам тогда и только тогда, когда длина пути по границе от i до j (по одному направлению) равна P/2. Иначе говоря, вопрос сводится к комбинаторной задаче о куммулятивных суммах длин сторон: существуют ли две вершины, на которых значения накопленной по периметру длины отличаются ровно на P/2.

Отсюда несколько простых достаточных условий:

если существует пара вершин, разделённых по границе ровно половиной периметра (например, в центросимметричном многоугольнике при чётном n вершины попарно противоположны), то соответствующая диагональ делит периметр пополам;для правильного (ровностороннего) многоугольника это выполняется тогда и только тогда, когда n чётно: тогда диагональ, соединяющая противоположные вершины (с разницей индексов n/2), делит периметр; при нечётном n такого диагонали между вершинами не бывает.

Ещё одно полезное замечание: если разрешить не обязательно вершины, а любые точки на границе, то в любом выпуклом многоугольнике всегда существует хорда (отрезок между двумя точками границы), делящая периметр пополам. Доказательство стандартно: для выбранной начальной точки рассмотреть точку, удалённую по границе на расстояние P/2; эта пара точек даёт искомую хорду, и из выпуклости следует, что хорда лежит внутри многоугольника. Но эта хорда обычно проходит не через вершины, поэтому не всегда является диагональю.

Итог: общее утверждение «в любом выпуклом многоугольнике существует диагональ, делящая периметр пополам» ложно; минимальный контрпример — выпуклый четырёхугольник со сторонами 1,1,1,2. Утверждение верно при дополнительных симметрических или четко заданных условиях (например, центросимметрия при чётном числе вершин, чётное n для правильного многоугольника и т. п.).