Ниже — сжатое, но технически строгое исследование свойств медиан, биссектрис и высот (высот = «перпендикуляров» к противоположным сторонам) в сферической геометрии, сравнение с Евклидовой плоскостью и формулировка критериев, при которых свойства совпадают или принципиально различаются.

Предисловие, обозначения

Сфера единичного радиуса в R^3. Треугольник ABC — три непараллельных (неколлинеарных на сфере) точки A, B, C на S^2; стороны — кратчайшие дуги больших кругов между вершинами. В векторном представлении вершины — единичные векторы A, B, C ∈ R^3.«Медиана» от A — дуга большого круга, соединяющая A с серединой дуги BC (точка M_BC = (B + C)/|B + C| или её антиподальная). Биссектриса в вершине A — дуга большого круга, делящая сферический угол при A пополам. Высота из A — дуга большого круга через A, перпендикулярная (как геодезическому прямому) стороне BC.

Общие наблюдения (аналогии с Евклидом)

Все перечисленные объекты имеют смысл и на сфере: медианы, биссектрисы, высоты, серединные перпендикуляры (под перпендикуляром на сфере понимается большой круг, перпендикулярный данному большому кругу).Для каждой из этих семейств на сфере можно задать естественные «центры»: центроид (точка пересечения медиан), инцентр (пересечение биссектрис), ортроцентр (пересечение высот), циркумцентр (пересечение серединных перпендикуляров). Эти центры обычно существуют (см. далее) и, как и в Евклиде, имеют геометрический смысл.

Конкурентность (существование точек пересечения)

Медианы: ВСЕ три медианы пересекаются в двух антиподальных точках; «центроид» G можно записать явно: вектор, пропорциональный A + B + C. Доказательство (коротко): пусть M_BC = (B + C)/|B + C|. Точка X = A + B + C (нормализованная) лежит в плоскости, задающей большой круг A M_BC, поскольку (A × M_BC)·(A + B + C) = 0 (расскладывается и аннулируется). Аналогично для других медиан. Следовательно медианы пересекаются. Этот пересекающийся пункт — естественный сферический «центроид».Перпендикулярные биссектрисы (серединные перпендикуляры): тоже пересекаются; это решение системы линейных уравнений вида (A − B)·O = 0, (A − C)·O = 0 и |O| = 1, поэтому при неколлинеарных A,B,C есть два решения ±O — циркумцентры.Биссектрисы углов: внутренние биссектрисы двух углов пересекаются и их пересечение единственен (опять же два антипода) — это инцентр; он единственен как точка, равноудалённая от трёх сторон (в смысле ортодромических расстояний до прямых-сторон).Высоты (ортогонали к сторонам): три высоты тоже пересекаются (в точке ортроцентра), поскольку под действием полярной/дуальной соответствия больших кругов/точек высоты переходят в серединные перпендикуляры полярного треугольника и обратно; формально их уравнения дают общую ненулевую точку ±H.

Итого: в сферической геометрии все эти три «класса» прямых (медианы, биссектрисы, высоты) имеют свой центровой пункт, т. е. соответствующие прямые (дуги больших кругов) пересекаются попарно в одной точке (с учётом антиподов).

Различия по качественным свойствам (важные отличия от Евклида)

Деление медианы в отношении 2:1 отсутствует: в Евклиде центроид G делит медиану в отношении AG : GM = 2 : 1 независимо от формы треугольника. На сфере такой универсальной постоянной доли нет: положение G вдоль медианы зависит от углов/длин сторон треугольника и выражается через скалярные произведения A·B, A·C и т. п. (для расстояний можно записать явные формулы через сферические косинусы). Только в приближении «малого» треугольника (малые стороны, сферическая геометрия ≈ евклидова) отношение стремится к 2:1.Euler-овы соотношения и Euler-ова прямая: в Евклиде центры O (циркумцентр), G (центроид) и H (ортроцентр) лежат на одной прямой (Euler) и OG : GH = 1 : 2. На сфере это общее свойство не выполняется. В общем O, G, H не коллинеарны; специальные случаи коллинеарности требуют симметрий (например, для равностороннего треугольника все центры совпадают). Следовательно многие классические евклидовы соотношения (фиксированные отношения, линейная зависимость векторных сумм) нарушаются.Вкладывание/расположение центров: на сфере «внутри/снаружи» треугольника — понятие менее тривиальное: треугольник может занимать большую часть сферы, центры могут лежать в любом из двух полушарий, могут совпадать с антиподами привычных центров Евклида. Например, циркумцентр для «угловатого» нейтрального треугольника может быть вне области, визуально «снаружи» (антипода).Уникальность/существование при вырожденных ситуациях: если один из противоположных дуг является диаметрально противоположным (например, B = −C), тогда середины, перпендикуляры и др. могут быть неопределённы или множественны; в «обычных» ситуациях (треугольник лежит в открытом полушарии и вершины не антиподальны) центры существуют и уникальны до знака.Связь с углами и площадью: в сферическом треугольнике сумма углов > π, и это влияет на соотношения между биссектрисами, площадью инцентрической окружности и т. п.; многие тривиальные евклидовы тождества, основанные на линейности площадей, здесь заменяются формулами со сферическим избытком.

Явные формулы и векторные представления (коротко)

Центроид G: единичный вектор по направлению S = A + B + C. Именно нормализованный S лежит на всех трёх медианах.Циркумцентр O: решение (A − B)·O = 0, (A − C)·O = 0, |O| = 1 ⇒ O ~ (A − B) × (A − C) (один из двух антиподов).Ортроцентр H: существование следует из двойственности (полярного) и из того, что высота из A задаётся плоскостью, содержащей A и вектор B × C; пересечение таких трёх плоскостей даёт ±H.Для расстояний вдоль медианы и дробления отрезка можно получать выражения через скалярные произведения: cos(∠(A, G)) = (A·(A + B + C)) / |A + B + C| = (1 + A·B + A·C) / |S| и т. п. Это позволяет вычислять, насколько близко G к вершине A по сравнению с серединой противоположной стороны.

Специальные случаи и критерии «эквивалентности» с Евклидом

Лимит малых треугольников: если все стороны << 1 радиана, сферические формулы аппроксимируются евклидовыми, и все евклидовы отношения (две трети на медиане, Euler-ова прямая и др.) становятся приближённо верными.Симметрия: для равностороннего (равностороннего по дуговым длинам) сферического треугольника много центров совпадают (G = O = I = H) — тогда поведение во многом «как в евклиде» (хотя численные отношения и значения отличаются).Изогенные/изометричные симметрии: если треугольник имеет ось симметрии (например, равные боковые стороны), то соответствующие медианы/биссектрисы/высоты, проходящие через вершину симметрии, совпадают, и некоторые евклидовы утверждения частично сохраняются.В общем же: единственные случаи, когда сферическая теория даёт те же универсальные константные соотношения (например, фиксированный делящий коэффициент на медиане), — это либо лимит малых размеров, либо треугольники с нужной симметрией (равносторонние/isosceles).

Итог — краткие выводы

Совпадения с Евклидом: на сфере корректно определяются и существуют аналоги медиан, биссектрис и высот; все три семейства образуют пересекающиеся в одной точке структуры (с учётом антиподов): центроид, инцентр, ортроцентр и циркумцентр — всё имеет смысл.Принципиальные различия: зависимости типа «деление медианы в отношении 2:1», универсальная Euler-ова прямая и фиксированные линейные соотношения между центрами отсутствуют в общем случае; отношения и позиции центров зависят от углов и размеров треугольника в существенно нелинейной (сферической) форме.Критерии эквивалентности: евклидовы утверждения восстанавливаются либо в пределе малого масштаба, либо при специальных симметриях треугольника (равносторонность, ось симметрии). Во всех остальных случаях следует ожидать отклонений, которые можно вычислить через сферические законы косинусов/синусов или через векторные формулы на S^2.

Если нужно, могу:

привести полный векторный вывод для ортроцентра и циркумцентра;записать формулы для долей на медиане (например, выражение длины AG относительно AM через скалярные произведения);рассмотреть конкретные числовые примеры (включая иллюстрации) для показа отличий от евклидовой 2:1.