Коротко сформулирую идею, докажу существование «канонической» декомпозиции и дам практический алгоритм восстановления преобразований по данным соответствиям.

1) Идея геометрической интерпретации

Пусть у нас треугольник ABC и точка P (например, P вне треугольника). Один простой способ «объяснить» P через преобразования — считать P образом некоторой характерной точки треугольника (например, центра тяжести G, ортoцентра H, центра описанной окружности O и т. п.) при некотором сочетании аффинного и «кругового» (в смысле similarity = поворот + гомотетия + параллельный перенос) преобразований.Формально: хотим представить некоторую аффинную функцию f(x) = Mx + t (Mx — линейная часть) в виде композиции
f = A ∘ S,
где S — similarity (поворот·гомотетия + перенос), A — аффинное преобразование (чисто линейное растяжение/сдвиг + перенос). Тогда P = f(X) интерпретируется как образ характерной точки X (например, G) при этой композиции.

2) Каноническая (почти единственная) линейная декомпозиция — полярное разложение

Пусть нам дано каноническое аффинное отображение f(x) = Mx + t (M — невырожденная 2×2 матрица). Тогда единственным каноническим способом выделить «круговую» часть является полярное разложение матрицы M:
M = Q · S,
где Q — ортогональная матрица (поворот или поворот с отражением), а S — симметричная положительно определённая матрица (чистое растяжение, сохраняющее направления собственных векторов). Полярное разложение для невырожденной матрицы в 2D уникально (если det M > 0 — Q — поворот, если det M < 0 — Q содержит отражение).

Далее S можно факторизовать как S = k · T, где k = sqrt(det S) > 0 — скаляр (гомотетия), а T — симметричная положительно определённая матрица с det T = 1 (уделяет форму, но не меняет площадь). Тогда
M = (Q·k) · T.
Здесь Q·k — именно similarity (поворот + однородное растяжение), а T — «чистое» аффинное искажение формы (сохраняющее площадь 1).

Таким образом для любой невырожденной аффинной карты f существует единственная линейная разложимая часть на similarity и на ориентированное (det = 1) симметрическое растяжение: линейная часть M = S_sim · S_aff однозначно (до знака/отражения, когда det<0).

Перенос t можно «распределить» между частями по желанию; чтобы получить однозначность, фиксируют дополнительный требуемый образ какой-то точки (например, требуют, чтобы similarity отправляла центр тяжести G в заданную точку P) — тогда распределение переносов становится однозначным.

3) Следствие для интерпретации точки P

Возьмём характерную точку X треугольника (например, G = (A+B+C)/3). Пусть f — некоторый аффинный образ треугольника (например, заданный соответствиями вершин A↦A', B↦B', C↦C'). Тогда f(X) — некоторый образ X; по полярному разложению f = (Q·k) ∘ (T ·· + смещение), и поэтому можно интерпретировать P = f(X) именно как образ X при композиции сначала «чистого аффинного растяжения T (с возможным переносом)», затем similarity Q·k (поворот+гомотетия+перенос). При фиксировании дополнительного требования (например, similarity обязана переводить X в P) такая развертка становится канонической.

Заметьте: без дополнительных условий представление не единственно: можно менять масштаб и поворот в одной части и корректировать вторую часть, получая ту же композицию. Каноническая одиночность даёт полярное разложение для линейной части и одно естественное разделение на similarity и детерминистически-нормированное растяжение (через k = sqrt(det S)).

4) Алгоритм восстановления преобразований по соответствиям (практическая инструкция)
Предположение: у вас заданы пары соответствий A ↦ A', B ↦ B', C ↦ C' (т. е. f(A)=A', f(B)=B', f(C)=C'), и вы хотите разложить f в form «similarity ∘ affine» так, чтобы, например, образом центра тяжести G был заданный P (или просто получить каноническое разложение).

Шаги:

Координаты. Представьте все точки в координатах (вектор A, B, C и A', B', C').

Построение аффинной карты f:

Решите M, t из системы
M A + t = A'
M B + t = B'
M C + t = C'.
Можно вычитать первую у двух других: M (B−A) = B'−A', M (C−A) = C'−A'. Это даёт систему для M (2×2) (два независимых вектора), затем t = A' − M A. (Единственность: если A,B,C не коллинеарны, решение единственно.)

Полярное разложение M:

Вычислите S = sqrt(M^T M) (симметричная положительно определённая матрица — корень положительно определённой матрицы M^T M). Это можно сделать через собственные числа/векторы M^T M.Найдите Q = M S^{-1}. Q окажется ортогональной (Q^T Q = I). (Если det M < 0, Q даст отражение; при желании можно вынести −1 в Q.)

Выделение similarity и чистой аффинной части:

Пусть k = sqrt(det S) (>0). Положите T = S / k (тогда det T = 1).Линейная часть M = (Q·k) · T. Тогда Q·k — линейная часть similarity, T — симметричное растяжение с det=1.

Распределение переносов (чтобы получить желаемое поведение на точке X):

Пусть X (например, G) — характерная точка. Если вы хотите, чтобы similarity σ(x) = k Q x + s переводила X в P, положите s = P − k Q X.Тогда для оставшейся афинной части τ(x) = T x + u найдите u так, чтобы τ(σ(A)) = A' (проверка для B,C даст то же u в идеальной точности). То есть u = A' − T (σ(A)). Это даёт τ(σ(x)) = f(x) по построению.В случае, если нет потребности в том, чтобы σ(X)=P, можно распределить перенос иначе; канонично принять, например, что перенос относится к последнему преобразованию (u = t, s = 0).

Проверка:

Проверить для всех вершин: τ(σ(A)) ≈ A' и т. д., и τ(σ(X)) = P (если требовали). При вычислениях с плавающей точкой возможна погрешность.

6) Комментарии о уникальности и вырожденных случаях

Линейная часть M имеет уникальное полярное разложение M = Q S (единственность Q,S при M невырожденной). Разложение S = k T тоже однозначно (k > 0, T с det 1).Перенос t можно разделить между частями по-разному; требование, что similarity переводит заданную точку X в P, фиксирует разбиение переносов уникально.Если det M < 0, Q включает отражение — тогда «similarity» будет с отражением; можно отдельно требовать ориентацию-preserving (только поворот) — тогда возможно дополнительное однозначное исправление.Вырожденные случаи: если A,B,C коллинеарны или M сингулярна — описанный метод не применим (нет уникального невырожденного affine).

7) Геометрическая иллюстрация (интуитивно)

Можно представить процесс так: сначала «искажение формы» T (симметричное растяжение без изменения площади) превращает исходный треугольник в «правильный» для similarity вид, затем similarity Q·k поворачивает и масштабирует этот образ и переводит выбранную характерную точку (например, центр тяжести) в требуемую точку P. Это даёт чистую геометрическую интерпретацию P как совокупного действия «аффинного и кругового» преобразований.

8) Итог

Любую невырожденную аффинную карту можно канонически разложить на similarity и однопараметрическое симметрическое растяжение через полярное разложение; это даёт естественное объяснение произвольной точки P как образа некоторой характерной точки треугольника.Без дополнительных условий представление не единственно; требование «similarity обязана переводить выбранную точку X в P» делает разложение однозначным (как минимум в рамках orientation-preserving и невырожденных случаев).Приведённый алгоритм позволяет восстановить M,t по соответствиям вершин, затем искать Q,S,k,T и получить фактические σ и τ (similarity и affine) так, чтобы образ X был P.

Если хотите, могу:

привести пошаговый числовой пример (с координатами) и показать все матричные вычисления;разобрать частный случай с X = центр тяжести G и конкретно показать формулы для G и s,u.