Ниже — несколько разных задач (вариантов задач на геометрическое место точек), связанных с двумя пересекающимися окружностями C1(O1, r1) и C2(O2, r2). После списка я выберу одну задачу и решу её подробно.

Варианты задач

Множество точек X, из которых обе окружности видны под равными углами (т. е. углы между касательными к каждой окружности из X равны).Множество точек X, у которых длины касательных от X до двух окружностей равны (т. е. sqrt(power) одинаковы).Множество точек X, у которых мощности по отношению к двум окружностям равны — радикальная ось двух окружностей.Множество точек X, у которых сумма (или разность) расстояний до двух окружностей (расстояние до ближайшей точки окружности, или до центров) равна заданной константе.Множество центров окружностей, которые касаются обеих данных окружностей (внутренние/внешние касания) — задача на построение семейства вписанных/описанных окружностей.Множество точек X, у которых хорды одной и той же фиксированной направленности на двух окружностях (например, хорда, проведённая через пересечения окружностей), видна под равными углами.Множество точек X, для которых отношения расстояний до центров O1 и O2 равно заданному числу k (задача на окружность Апполония).Множество точек X, для которых углы ∠XO1O2 и ∠XO2O1 удовлетворяют заданному соотношению (даёт семейство дуг/окружностей).

Выберу задачу 1 для подробного решения (она близка к пункту 7 и даёт красивое геометрическое место — окружность Апполония).

Задача (выбранная). Найти геометрическое место точек X такие, что углы, под которыми окружности C1(O1,r1) и C2(O2,r2) видны из X (под углом между касательными), равны.

Решение и обоснование

1) Уточнение понятия. Для точки X, находящейся вне окружности Ci, под углом, под которым видна окружность Ci, понимают величину угла между двумя касательными из X к этой окружности. Если X лежит внутри окружности, вещественных касательных нет, поэтому далее рассматриваем X, для которых касательные к обеим окружностям существуют (XO1 ≥ r1 и XO2 ≥ r2). Для внешней точки X угол между касательными к окружности с центром O и радиусом r равен 2·α, где α — острый угол в прямоугольном треугольнике OXT (T — точка касания), и sin α = r / XO. Значит:
угол зрения окружности = 2·arcsin(r / XO).

2) Равенство углов для двух окружностей. Пусть из X касательные к C1 и C2 существуют. Условие равенства углов:
2·arcsin(r1 / XO1) = 2·arcsin(r2 / XO2).
Так как функции arcsin монотонны на [0,1], это эквивалентно
r1 / XO1 = r2 / XO2,
или
XO1 / XO2 = r1 / r2 =: k (положительная константа).

Итого: искомое геометрическое место — множество точек X для которых отношение расстояний до центров O1 и O2 равно константе k = r1/r2.

3) Описание этого множества. Множество точек с постоянным отношением расстояний до двух фиксированных точек — это окружность Апполония (при k ≠ 1) или перпендикулярная биссектриса O1O2 (при k = 1).

Более подробно (алгебрическое обоснование положения центра и радиуса):
положим d = O1O2. Тогда для k ≠ 1 множество задаётся уравнением
XO1^2 = k^2 · XO2^2.
Если расположить O1 в начале координат, O2 в точке (d,0), то после преобразования получим уравнение круга с центром на прямой O1O2: центр C имеет координату (по направлению O1→O2)
OC = -k^2 d / (1 - k^2) (в системе с O1 в 0),
то есть центр делит (внутреннее или внешнее) отрезок O1O2 в отношении O1C : CO2 = k^2 : 1. Радиус R вычисляется из уравнения и равен
R = (k d sqrt(2 - k^2)) / |1 - k^2|
(формула получена прямым приведением уравнения к каноническому виду; точная форма радиуса не обязательна для качественного описания, важно, что это конечное положительное число при допустимых k).

Особые случаи:

Если k = 1 (то есть r1 = r2), тогда условие XO1 = XO2, и множество — перпендикулярная биссектриса сегмента O1O2 (прямая).Если k > 1 или k < 1 — для построения центра применяется деление O1O2 в отношении k^2:1 (внешнее деление, если центр выйдет за отрезок).Дополнение по допустимости точек: при фактическом решении углы между касательными определены только для точек X, у которых XO1 ≥ r1 и XO2 ≥ r2. Поэтому из теоретической апполониевой окружности выбираются только те её точки, для которых выполняется условие существования касательных; на практике это либо весь апполониев круг (внешняя часть) либо часть его дуг.

4) Построение (евклидовое, шаги)

Вычислите/определите k = r1 / r2.Если k = 1: построьте перпендикулярную биссектрису отрезка O1O2 — это и есть искомое множество (всюду на этой прямой углы равны).Если k ≠ 1:
a) На прямой O1O2 постройте точку C, делящую O1O2 в отношении O1C : CO2 = k^2 : 1. (Стандартное деление отрезка: на O1O2 через O1 проведите луч, отложите на нём k^2 и 1 равных отрезков, соедините последний с O2 и через точки деления проведите параллели.)
b) Найдите радиус R вычислительно или построением: например, найдем любую точку X на перпендикуляре к O1O2 через C такую, чтобы XO1/XO2 = k (это делается как пересечение окружностей или методом пропорционального деления); модуль CX даст радиус R. (Можно также использовать формулу для R, если известны d и k.)
c) Окружность с центром C и радиусом R — апполониева окружность; пересечение её с областями XO1 ≥ r1 и XO2 ≥ r2 даёт искомый набор точек, из которых обе окружности видны под равными углами.

5) Краткие замечания:

Если r1 и r2 таковы, что апполониева окружность целиком лежит в областях, где касательные не существуют, то реального решения (точек, удовлетворяющих условию уместно-интерпретируемому через касательные) нет. Обычно в задачах подразумевают поиск точек вне обеих окружностей.Геометрический смысл результата: равенство «углов зрения» двух окружностей эквивалентно равенству синусов полууглов, а поскольку sin(α) = r / XO — это напрямую ведёт к соотношению расстояний до центров, поэтому появляется окружность Апполония.

Итоговое утверждение (сжатое): множество точек X, из которых две окружности C1(O1,r1) и C2(O2,r2) видны под равными углами (между касательными), равно множеству X с отношением расстояний XO1:XO2 = r1:r2 — то есть (при r1 ≠ r2) это окружность Апполония, центр которой лежит на O1O2 и делит O1O2 в отношении k^2:1, где k = r1/r2; при r1 = r2 — это перпендикулярная биссектриса O1O2.