Рассмотрим тетраэдр ABCD с вершиной A, у которой три исходящих ребра равны:
AB = AC = AD =: s,
и при этом тетраэдр не обязателен регулярный (т. е. стороны в основании BCD могут быть разными).

Удобная модель (и уже многие свойства из неё легко выводятся). Разместим плоскость BCD в плоскости z = 0, положим проекцию A на эту плоскость в начало координат O = (0,0,0), и A = (0,0,h) (h > 0). Тогда точки B,C,D лежат в плоскости z = 0 и равноудалены от O:
|OB| = |OC| = |OD| =: R.
Тогда AB = AC = AD = sqrt(R^2 + h^2) = s. Эта модель эквивалентна описанию: B, C, D лежат на окружности радиуса R с центром O, A — над центром этой окружности на высоте h.

Основные геометрические и симметрические свойства

1) Свойства граней, смежных с A

Каждая из треугольников ABC, ABD, ACD — равнобедренная с вершиной в A (пара равных сторон: AB = AC и т. п.). Поэтому в каждой из этих граней из вершины A совпадают три «классические» прямые: медиана к основанию, высота на основание и биссектриса угла при A. Например, в треугольнике ABC медиана AM_BC, высота и биссектриса (все три) совпадают и пересекают BC в его середине M_BC.

2) Ортогональность и центры основания

Точка O (проекция A на плоскость BCD) — центp описанной окружности треугольника BCD (потому что B,C,D равноудалены от O). Следовательно AO ⟂ плоскости BCD.AO — «оси симметрии» в том смысле, что любое вращение вокруг AO переводит окружность BCD в себя; но чтобы это вращение была симметрией всего тетраэдра (переставляло B,C,D без изменения фигуры), треугольник BCD должен иметь соответствующую симметрию (см. далее).

3) Описанная сфера тетраэдра (circumsphere)

Центр описанной сферы тетраэдра лежит на прямой AO. Действительно: множество точек, равноудалённых от B, C и D — это прямая, проходящая через O и перпендикулярная плоскости BCD (она же AO). Стремясь к точке, равноудалённой ещё и от A, получаем единственную точку на этой прямой — центр описанной сферы тетраэдра.В координатах: если центр описанной сферы = U = (0,0,u), то из равенства расстояний до B и до A вытекает
sqrt(R^2 + u^2) = |h − u|.
Отсюда (при h>0) получаем
u = (h^2 − R^2) / (2h).
Описанный радиус Rc = |h − u| = sqrt(R^2 + u^2).

4) Вписанная сфера (incenter)

В общем случае центр вписанной сферы (точка, равноудалённая от всех четырёх граней) не обязан лежать на AO. Нет общей симметрии, заставляющей его лежать на оси AO, потому что плоскости граней ABC, ABD, ACD по отдельности не симметричны относительно AO (их нормали в общем случае отличаются по модулю).Исключение: если треугольник BCD обладает круговой симметрией относительно O (т.е. он равносторонний), то тетраэдр приобретает осевую симметрию порядка 3 вокруг AO, и тогда центр вписанной сферы располагается на AO. Иными словами: при базе BCD равносторонней множество центров (центр описанной сферы тетраэдра, центр вписанной сферы, центр масс — см. ниже) лежит на AO.

5) Центр масс (центроид) и медианы тетраэдра

Центроид (середина масс) тетраэдра — точка пересечения медиан (связь: медиана тетраэдра — от вершины к центру масс противоположной грани). Центр масс тетраэдра = (A + B + C + D)/4. В нашей модели координаты центра масс = (0,0,h/4) (потому что центр масс основания = O = (0,0,0)). Поэтому центроид лежит на прямой AO, но не совпадает с O или с A в общем случае.Медиана из вершины A (к центру тяжести грани BCD) — это отрезок A G, где G — центр тяжести треугольника BCD = (0,0,0). То есть медиана из A совпадает с частью AO (она — отрезок AG на AO). Следовательно AO содержит медиану из A к противоположной грани. Однако медианы от других вершин (B,C,D) не обязаны лежать на AO.

6) Какие прямые совпадают (сводка)

В каждой из трёх граней, прилегающих к A, пересекаются и совпадают: медиана, высота и биссектриса, выходящие из A (они пересекают противоположные ребра в их серединах).Прямая AO — перпендикуляр к плоскости основания, через центр описанной окружности основания; на ней лежат: проекция A на базовую плоскость (O), медиана из A к центру тяжести грани BCD (поскольку G = O в нашей модели), центр описанной сферы тетраэдра и центроид тетраэдра (точка (0,0,h/4)). Центр вписанной сферы в общем случае не лежит на AO.

7) Симметрии, при которых тетраэдр становится более «регулярным»

Если в основании BCD два ребра равны (пример: BC = BD), то есть у треугольника BCD осевая симметрия, то у всего тетраэдра появится плоскость симметрии, содержащая AO и среднюю перпендикулярную к соответствующему основанию; эта плоскость будет переставлять вершины B и D, сохраняя C. Т.е. один отражательный симметричный элемент появляется.Если B C D — равносторонний треугольник (BC = CD = DB), то тетраэдр имеет ось симметрии порядка 3: вращения на 120° вокруг AO переставляют B→C→D. В этом случае:
— AO — ось симметрии;
— центр описанной сферы, центр вписанной сферы и центроид лежат на AO;
— «линии» в гранях (медианы/биссектрисы/высоты из A) симметрично расходятся и их проекции на плоскость основания образуют радиусы к серединам сторон.Чтобы тетраэдр стал регулярным (все 6 рёбер равны), необходимо (и достаточно) потребовать дополнительно к AB = AC = AD равенства рёбер основания: BC = CD = DB и чтобы длины этих рёбер равнялись s = AB. Эквивалентный практический критерий: основание BCD должно быть равносторонним с длиной стороны s, и высота h должна удовлетворять s^2 = R^2 + h^2, где для равностороннего основания R = s / sqrt(3). Это даёт h = sqrt(2/3) s — именно такая высота над центром делает тетраэдр регулярным (это стандартная величина высоты правильного тетраэдра от вершины до центра основания).

8) Короткое резюме условий регулярности (достаточные «дополнения» к AB = AC = AD)

BC = CD = DB (основание равностороннее) — даёт осевую симметрию порядка 3; если дополнительно длины основания совпадают с AB, то фигура регулярна.Нередко достаточно потребовать совпадения двух «классических» центров тетраэдра (например центра описанной и центра вписанной сферы) — при наличии AB = AC = AD это резко ограничивает геометрию основания и обычно приводит к симметрии, вплоть до равносторонности основания. (Замечание: строгая формулировка «любое совпадение двух центров → регулярность» требует аккуратно доказать; безопасный практический критерий — равенство всех трёх сторон основания плюс совпадение длин с AB.)

Заключение

Главный источник симметрии в тетраэдре AB = AC = AD — то, что A равноудалена от B, C, D; это означает, что A лежит на нормали к плоскости основания в центре описанной окружности основания (AO ⟂ плоскости BCD). На уровне граней, прилегающих к A, все «высоты/медианы/биссектрисы из A» совпадают. Но глобальная (3D) симметрия тетраэдра зависит от симметрии треугольника BCD: если база нерегулярна — общая симметрия минимальна; если база имеет осевые равенства, появляются отражения; если база равносторонняя — осевая симметрия порядка 3, и при дополнении равенством длин между слоями (AB = сторона основания) тетраэдр становится правильным.

Если хотите, могу:

привести рисунок или плотно оформленную координатную выкладку (с выводом формулы для положения центра описанной сферы и радиуса);показать условия и доказательства более формально (например, доказать, что при BC = CD = DB и AB = BC тетраэдр регулярен).