Ниже — сжатое, но полное сравнение двух подходов к доказательству теоремы Менелая для треугольника, оценка их применимости в проективной геометрии и предложенная методика преподавания в старших классах.

Формулировка (ориентированная)
Пусть в треугольнике ABC прямая пересекает прямые BC, CA, AB в точках X, Y, Z (точки могут лежать на продолжениях сторон). Тогда
(BX / XC) · (CY / YA) · (AZ / ZB) = −1,
где дроби — отношения ориентированных отрезков (знак учитывает направление).

Классическое доказательство «через подобие»
Идея:

Рассматривают частные случаи (например, когда прямая пересекает две стороны внутри, одну — вне) и строят пары подобных треугольников, образующихся при пересечении стороны и секущей.Из каждой пары получают равенство отношений отрезков (например, BX/XC = ?/?) и затем перемножают три таких равенства, получая искомую равенство (в беззнаковой форме обычно получают 1, но учёт внешнего/внутреннего положения даёт знак).

Плюсы:

Геометрически интуитивно: опирается на знакомые понятия подобия треугольников.Доступен учащимся, хорошо подходит для начального знакомства с теоремой.Наглядные схемы и локальные соотношения легко рисовать и обсуждать.

Минусы:

Требует разборов нескольких случаев (пересечения внутри/снаружи), чтобы корректно учесть знак — это громоздко и легко запутаться.Плохо масштабируется на более общие (проективные) формулировки: точки на бесконечности и вырожденные случаи требуют отдельного рассмотрения или перехода к ориентированным отношениям.Доказательство через ориентированные отрезки / координаты / проективный подход
Идея (координатная / ориентированная длина):
На каждой стороне вводят ориентированную координату (например, на BC положить B ↦ 0, C ↦ 1; тогда любая точка X на прямой BC имеет параметр t = BX/XC в ориентированной форме).Коллинеарность точек X, Y, Z (пересечение одной и той же секущей) выражается линейным зависимым соотношением их афинных/гомогенных координат; из этого вытекает соотношение (BX/XC)·(CY/YA)·(AZ/ZB)=−1.
Альтернативно, использовать гомогенные координаты (проективный способ): записать уравнения прямых и точек и воспользоваться тем, что если три точки коллинеарны, их координаты удовлетворяют детерминантному соотношению; итог даёт тот же продукт с минусом.

Плюсы:

Единая формула покрывает все случаи (внутренние/внешние пересечения, точки на бесконечности) — знак и бесконечности обрабатываются естественно.Прямо переносится в проективную геометрию (гомогенные координаты, отображения), т.к. использует ориентированные длины/координаты и линейную алгебру.Удобно для обобщений (двойственность с теоремой Чева, формулы для многогранников, связки с кросс-отношением).

Минусы:

Требует введения понятия ориентированных отрезков/знаков и/или координат, что для части учащихся более абстрактно.Меньше «наглядности» для учеников, непривычных к алгебраической интерпретации геометрии.Оценка применимости для общего случая треугольников в проективной геометрии
Классический подход хорош в эвклидовой геометрии как интуитивное доказательство и для «чисто геометрических» задач. Но он не даёт естественного способа работы с точками на бесконечности и с вырожденными конфигурациями.Ориентированный/координатный (проективный) подход — предпочтителен для общей теории. В проективной геометрии естественны гомогенные координаты и отношения (включая бесконечность); Menelaus тогда является частным случаем линейных соотношений и легко выводится из алгебраических условий коллинеарности. Кроме того, эта форма обеспечивает чистую связь с теоремой Чева через дуальность в проективной плоскости.

Резюме: для фундаментальной и всеобщей теории (и для обобщений) — ориентированные отрезки / гомогенные координаты; для интуитивного ознакомления — классическое доказательство через подобие.

Методика преподавания для старших классов (план на 2–3 урока)
Цель: дать интуицию, затем строгую общую формулировку и показать связь с Чевой и проективными идеями.

Урок 1 — мотивация и классическое доказательство

Вступление: привести конкретные геометрические задачи, где нужно показать коллинеарность точек (или найти точки пересечения).Постановка задачи Менелая (геометрическая картинка).Провести классическое доказательство через подобие (рассмотреть типичный случай, где все три пересечения внутри сторон); затем разобрать один вариант с внешним пересечением, показать, откуда берётся знак.Упражнения: несколько задач на применение, простые конфигурации.

Урок 2 — ориентированные отрезки и единая формулировка

Ввести понятие ориентированного отрезка (правило знаков) и показать примеры.Доказать теорему Менелая в ориентированной форме (координатный/алгебраический способ или кратко через ориентированные подобия), показать как одна формула охватывает все случаи и точки на бесконечности.Упражнения: случаи с точкой на бесконечности (секущая параллельна стороне), а также проверить частные конфигурации.

Урок 3 — связи и обобщения

Показать двойственность Менелая и Чева; привести формулу Чева и показать, как одно следует из другого в проективной дуальности.Небольшое введение в гомогенные координаты (на интуитивном уровне): как записать точку/прямую; вывести Менелая через детерминанты (опционально).Проект/исследование: дать учащимся задачу-исследование — привести несколько геометрических конфигураций, проверить Menelaus экспериментально (с геометрическим редактором), затем формализовать выводы.

Методы и приёмы

Интерактивность: использование геометрических редакторов (GeoGebra) для наблюдения случаев с точками на бесконечности и смены конфигурации секущей.Визуализация знака: показать на конкретных отрезках, как меняются знаки при переходе через вершины.Массовые точки (mass points) как вспомогательная техника — полезна для практических задач и связана с Чевой.Чёткие контрольные вопросы: «как определить знак в дроби?», «что происходит при параллельности?», «какие случаи покрывает классическое доказательство?».

Домашняя работа и оценка

Набор задач: прямое применение теоремы (найти неизвестный отрезок), задачи на комбинацию Менелая + Чева, задания на проверку случаев с точками на бесконечности.Одна задача «обобщение»: доказать Менелая через гомогенные координаты или показать эквивалентность с использованием отношений площадей.Практические рекомендации учителю
Начать с наглядного классического доказательства, чтобы «захватить» смысл.Ввести ориентированные отрезки как обязательный инструмент далее (это снимает необходимость рассматривать множество частных случаев).Демонстрировать примеры в GeoGebra — особенно легко показать переход внутреннего пересечения в внешнее и появление знака «−».Связать тему с Чевой и с основами проективной точки зрения (дуальность, точки на бесконечности), но не углубляться в гомогенные координаты дольше, чем того требует уровень класса.

Заключение

Для старших классов оптимальна связка: сначала классическое доказательство через подобие (интуиция), затем переход к ориентированным отрезкам и координатному/проективному доказательству (общность и строгость). Это даёт и наглядность, и подготовку к более абстрактной геометрии/линейной алгебре.