Ниже — простая и строго конструктивная схема (для общего положения точки P ≠ O), её обоснование и сравнение с альтернативами.

Обозначения. Дана окружность γ с центром O и радиусом R, дана точка P (P = O — особый случай, см. в конце). Нужно построить точку P («симметричную» P относительно окружности γ), то есть такую точку на луче OP, что OP · OP = R^2 (в терминах инверсии: P* — образ P при инверсии относительно γ).

Основной (универсальный) способ с помощью полярной (через две секущие)

Шаги конструкции

Проведите через P две произвольные прямые, которые пересекают окружность γ в реальных точках. Пусть первая прямая пересекает γ в A и B, вторая — в C и D (порядок точек на прямой не важен, важно, чтобы пары были разные).Постройте пересечения X = AC ∩ BD и Y = AD ∩ BC (это строится простым пересечением прямых).Проведите прямую XY. Теорема полярности (классическое свойство полного квадрилетера/поляр) даёт, что прямая XY — поляр точки P относительно окружности γ.Проведите прямую OP и найдите точку P* = (OP) ∩ (XY).Точка P — искомая: O, P, P коллинеарны и OP · OP* = R^2.

Замечания по исполнению: если какая‑то из выбранных прямых проходит касательно (даёт совпадение точек), процедуру достаточно повторить с другой секущей; выбор секущих произвольный, никаких измерений не требуется. Конструкция работает и если P находится внутри окружности (в этом случае секущие дают реальные пересечения), и если P снаружи.

Краткое обоснование корректности

Теорема полярности / Ла-Эйр (La Hire): если точка P и окружность γ заданы, то для любой секущей через P, пересекающей γ в A и B, пересечение точек касательных в A и B лежит на полярной линии точки P; для построения полярной при помощи двух секущих используется полный квадрилеттер: пересечения AC∩BD и AD∩BC лежат на полярной P (это стандартный синтетический результат).Если P — пересечение полярной P с OP, то по свойствам полярности P и P являются полюсами друг друга (La Hire: если Q лежит на полярной P, то P лежит на полярной Q). Из стандартных соотношений для полярей и полюсов относительно окружности следует, что OP · OP = R^2 (это можно получить, например, рассматривая секущую через P и используя формулу для мощности точки: для проекции полюса на радиальную прямую получается требуемое произведение). Следовательно P — искомая инвертированная точка.

Особые случаи

Если P лежит на окружности γ, то P* = P (точки на окружности инвариантны).Если P = O, то обратная точка относительно γ — «точка на бесконечности» (инверсия не даёт конечной точки), строить нечего. В практическом смысле задача не имеет конечного решения для P = O.

Альтернативные методы и сравнение

1) Метод через касательные (подходит только для P вне окружности)

Постройте касательные из P к γ (обычная постройка: пересечение γ с окружностью диаметра OP даёт точки касания T1, T2; затем PT1 и PT2 — касательные).Точки касания T1, T2 дают напрямую полярную: прямая T1T2 — полярная P. Пересечение T1T2 с OP даёт P*.
Плюсы: очень прост и экономичен в построениях (одно пересечение касательных + пересечение с OP). Минусы: неприменим, если P находится внутри γ (касательных нет).

2) «Прямое» построение через подобие (попытка получить OP* = R^2/OP явным подобием)

Чтобы получить отрез пропорциональный 1/OP, обычно потребовались бы измерения/деления отрезов или вычисление обратных величин; это не даётся однозначно без использования полярности/инверсии или вспомогательных окружностей. Поэтому «прямой» способ через сведения о подобных треугольниках обычно сопряжён с постройкой касательных или полярной и сводится к одному из описанных выше методов.
Поэтому прямого «измерительного» способа (без построения полярной/касательных) обычно не применяют.

3) Метод «инверсия как операция» (в теоретическом смысле)

Инверсия — это та самая операция, которую мы фактически выполняем. Можно реализовать инверсию геометрически иными вариантами (например, через построение окружности, проходящей через P и ортогональной данной γ — тогда второе пересечение этой окружности с лучом OP даёт P*). Построение окружности через P, ортогональной γ, требует построить её центр на линии, удовлетворяющей условию ортогональности (это сводится к решению квадратичного уравнения, эквивалентного постройке полярной). В итоге эти способы эквивалентны по сложности методу с полярной.

Резюме и рекомендации

Универсальный, простой и не зависящий от положения P метод: построить полярную точки P через две произвольные секущие и пересечь её с OP. Этот способ работает и для P внутри, и для P снаружи окружности, использует только циркуль и линейку и не требует измерений.Для случая P вне окружности наиболее экономичен метод через касательные: построить точки касания и прямую T1T2, пересечь с OP.Метод «инверсии через окружность, ортогональную данной» существует и теоретически симметричен, но фактически сводится к тем же конструктивным приёмам (поляр/касательные).

Если хотите, могу:

привести полный синтетический доказательный вывод OP · OP* = R^2 через теорему о полярности (с пошаговым синтетическим доказательством), либопоказать конкретный пример конструкции с рисунком и координатным проверочным вычислением.