Ниже — полный разбор (в упрощённой, однако общей, постановке). Пусть фокусы фиксированы в точках F1(−c,0) и F2(c,0) (расстояние между фокусами = 2c). Семейство эллипсов задаётся условием
|PF1| + |PF2| = 2a, a ≥ c.
Исследуем пересечения этого эллипса с прямой
L: y = kx + b
(случай k = ∞ можно рассмотреть отдельно как x = const).

1) Максимальное число пересечений и общая картина

Эллипс выпуклое замкнутое множество, любая прямая может пересечь его не более чем в двух точках. Следовательно возможны ровно три варианта: 0, 1 (касание) или 2 точки пересечения.Переход числа пересечений происходит тогда, когда параметры изменяются так, что прямая становится касательной к эллипсу (две точки сливаются в одну) или касается вырожденного случая a = c и т. п.

2) Критерий появления/исчезновения пересечений (универсальная формулировка)
Определим функцию
S(x) = |(x, kx+b)F1| + |(x, kx+b)F2| = sqrt((x+c)^2 + (kx+b)^2) + sqrt((x-c)^2 + (kx+b)^2).
Для данной прямой L множество значений 2a, при которых есть пересечение, это значения 2a из образа функции S(x) при x ∈ R. Так как S(x) → +∞ при x → ±∞ и S(x) непрерывна, образ S(R) = [S_min, +∞) и, следовательно:

если 2a < S_min, пересечений нет;если 2a = S_min, прямая касательна к эллипсу (одна точка);если 2a > S_min, две точки пересечения.

Итак вся задача сводится к вычислению Smin = min{x∈R} S(x).

3) Геометрическая оценка S_min (метод отражения)
Классический приём: отразим фокус F2 относительно прямой L в точку F2'. Тогда для любой точки P на L выполняется |PF2| = |PF2'|, и
S(x) = |PF1| + |PF2| = |PF1| + |PF2'|.
По неравенству треугольника |PF1| + |PF2'| ≥ |F1F2'|, т.е. |F1F2'| — нижняя граница функции S. Однако эта граница достигается лишь если прямая, соединяющая F1 и F2', пересекает L в точке P, лежащей между F1 и F2' (т. е. точка P принадлежит отрезку F1F2'). Если этот отрезок не пересекает L, равенство невозможно и S_min > |F1F2'|.

Следовательно:

в том (удобном) случае, когда отрезок F1F2' действительно пересекает L, получаем простой closed-form:
S_min = |F1F2'|, поэтому граничное значение a_crit = S_min/2 = |F1F2'|/2.в общем случае (если отрезок не пересекает L) надо найти S_min как минимум функции S(x) (единственная стационарная точка — минимум) — это делается решением уравнения производной S'(x)=0; закрытой простой формулы в общем виде для S_min нет, но условие на число пересечений остаётся тем же (0,1,2) с порогом 2a = S_min.

4) Явная формула в «хорошем» случае (когда отрезок F1F2' пересекает L)
Прямую L в форме kx - y + b = 0. Найдём координаты отражённой точки F2' (произвольно записав b как свободный член):
F2 = (c,0) → F2' =
( c - 2k(kc + b)/(1+k^2), 2(kc + b)/(1+k^2) ).
Расстояние
|F1F2'| = 2 sqrt( (c^2 + b^2) / (1 + k^2) ).
Отсюда, в этом случае,
a_crit = S_min/2 = sqrt( (c^2 + b^2) / (1 + k^2) ).

Условие, при котором этот «хороший» случай выполняется, можно выразить параметром положения точки пересечения прямой F1F2' ∩ L: если при параметризации отрезка F1 → F2' точка пересечения лежит между (включая) концами отрезка, то формула применима. Для b ≠ 0 явная формула параметра t (по параметру отрезка) даёт
t = (b - k c) / (2 b).
Тогда условие интерсекции отрезка ↔ 0 ≤ t* ≤ 1. (При b = 0 надо рассматривать отдельный вырожденный случай.)

В частности:

если условие 0 ≤ (b - k c)/(2 b) ≤ 1 выполнено (при b ≠ 0), то порог a_crit = sqrt((c^2 + b^2)/(1+k^2)).если оно не выполнено, то S_min > |F1F2'| и нужно решать S'(x)=0 для определения S_min.

5) Координаты точки касания в «хорошем» случае
Если 2a = S_min и отрезок пересекает L, точка касания P — это точка пересечения отрезка F1F2' с L. При b ≠ 0 её ордината (y) можно выразить явно (см. вывод выше):
y = (b^2 - k^2 c^2) / ( b (1 + k^2) ),
и абсциссу x = (y* - b)/k (если k ≠ 0). (При b = 0 и k ≠ 0 анализ даёт отдельный частный результат.)

6) Поведение ординат при изменении параметров a, k, b

При фиксированных k, b и увеличении a из допустимого минимума a ≥ c:
если 2a < S_min — нет пересечений;при 2a = S_min — одна точка (касание) с ординатой y как выше (если «хорошее» условие выполнено; в общем случае y находится решением S'(x)=0 и подстановкой в y=kx+b);при 2a > S_min — две точки пересечения; их ординаты y1(a), y2(a) меняются непрерывно при изменении a (до слияния в точке касания при a ↓ a_crit).При изменении параметров прямой (k, b) пороговое значение S_min (а значит и a_crit = S_min/2) меняется; когда параметр прямой пересекает такое положение, что 2a проходит через S_min, количество пересечений меняется (0↔2 через касание).Ординаты пересечений являются непрерывными функциями параметров (a,k,b) до момента, когда две точки сливаются (касание) — в этой точке обе ординаты равны y* и дальше при изменении параметров либо исчезают (если 2a < S_min), либо вновь возникают две.

7) Частные и вырожденные случаи

a = c: эллипс вырождается в отрезок между фокусами; прямая может пересечь этот отрезок в 0 или 1 точке (в зависимости от положения).Прямая L параллельна большой оси (k = 0) — формулы существенно упрощаются: a_crit = sqrt(c^2 + b^2). Это совпадает с очевидным требованием, что полумалая ось b_ell = sqrt(a^2 - c^2) должна быть не меньше |b|.k → ∞ (вертикальная прямая x = const) — аналогично: минимальная сумма определяется расстоянием от этой прямой до фокусов и т.д.

8) Итог (кратко)

Число пересечений ∈ {0,1,2}.Пороговое значение, при котором меняется число пересечений, задаётся равенством 2a = S_min, где S_min — минимум функции S(x) (суммы расстояний от фокусов до точки на прямой).Если отрезок между F1 и отражением F2 относительно L пересекает L, то S_min = |F1F2'| и тогда
a_crit = sqrt( (c^2 + b^2)/(1 + k^2) ).
В противном случае S_min вычисляется как решение уравнения S'(x)=0 (есть единственный стационарный минимум) и порог a_crit = S_min/2 — для него надо решать явно или численно.Ординаты точек пересечения непрерывны от параметров и при достижении порога сливаются (касание) и исчезают/появляются парами.

Если нужно, могу:

развернуть вывод формулы отражения и явно показать вычисления F2' и |F1F2'|;привести подробный вывод формулы y* для касательной точки в «хорошем» случае;для заданных числовых значений c, k, b показать численную картину S(x) и поведение ординат при изменении a.