Коротко: точка касания со стационарной плоскостью Pj задаётся как xj = c + r nj (nj — наружный единичный нормаль этой грани, c — центр вписанной сферы, r — её радиус). При параллельном сдвиге одной грани (нп. k‑той) nj не меняется, меняется только свободный член уравнения плоскости pk. Центр и радиус удовлетворяют системе линейных уравнений
<nj, c> + r = pj, j ∈ I (множество граней, к которым сфера касается),
поэтому при малом изменении pj (dpj) изменения dc и dr находятся дифференцированием этой системы:
<nj, dc> + dr = dpj, j ∈ I.
Запишем в матричном виде
A · (dc, dr)^T = dp,
где каждая строка матрицы A — (nj^T, 1). Если строки независимы (обычно достаточно 4 касательных негопланарных граней), система разрешима и (dc, dr) выражаются линейно через вектор dp. Тогда при параллельном сдвиге только k‑й грани (dpj = 0 для j ≠ k, dpk = Δ) получаем
(dc, dr) = A^{-1} e_k Δ,
а перемещение точки касания на j‑й грани
dxj = dc + dr · nj
(если нормали nj фиксированы; при непараллельном движении граней добавить r dnj).

Какие методы и идеи использовать для исследования экстремальных положений

1) Линейный анализ и неявная функция.

Если число активных (касательных) граней равно 4 и их (nj,1) линейно независимы, центр и радиус зависят гладко от параметров граней: применяем неявную функцию и дифференцируем систему. Это даёт явные формулы для скоростей dc, dr и, следовательно, скоростей точек касания.

2) Линейная/выпуклая оптимизация и условия Кара‑Куна‑Такера.

Вписанная сфера — это центр Чебышева: c и r максимизируют r при ограничениях <nj,c> + r ≤ pj для всех граней. Это выпуклая задача (max r). Экстремальные изменения при вариациях граней удобно изучать через условия оптимальности (Lagrange multipliers / KKT): активны те грани, для которых достигается равенство, а множители дают чувствительности r и c к изменениям pj. Это особенно удобно если число контактных граней меняется (переключение активных ограничений).

3) Дифференциальная геометрия и функция опорной (support function).

Для гладкого выпуклого тела удобна функция опорной h(n) = max_{x∊S} <x,n>. Точка касания с опорной плоскостью нормали n выражается через h и его градиент:
x(n) = ∇_n h(n) + h(n) n.
Параллельный сдвиг плоскости нормали n означает добавление константы к h в направлении n; изменение h приводит к изменению x через дифференцирование (участвует оператор второго ранга — связанный с кривизной поверхности). Это даёт локальную формулу для смещения точки касания и связывает её с матрицей второго фундаментального формы (shape operator): при фиксированной нормали скорость движения точки пропорциональна обратному shape‑оператору (зависит от нормальных кривизн).

4) Теория оболочек/энвело́п (envelope) и вариационное исчисление.

Поведение множества касательных плоскостей рассматривается как огибающая семейства плоскостей. Малые вариации параметров плоскостей анализируют через построение огибающей и её критических точек (методы вариационного исчисления; вычислять вариацию координат точки при фиксированном нормале/смещении).

5) Случай с избыточным числом касательных граней (больше 4).

Тогда система <nj,c> + r = pj является переопределённой; активная подмн-во определяет сферу. При малом сдвиге грани активный набор может измениться (переключение), исследуют через KKT/условия устойчивости (stability, complementarity). Для исследования экстремумов точек касания используют параметризацию по кандидату на центр и проверяют, какие грани остаются активными.

Практическая схема исследования

Сформулируйте уравнения <nj,c> + r = pj для всех потенциально касательных граней.Найдите активное подмножество (обычно 4) — решите для c,r.Дифференцируйте систему по параметру сдвига одной грани, получите dc,dr из линейной системы.Найдите dxj = dc + dr nj для перемещений точек касания.Для исследования экстремумов r или координаты точки касания используйте Lagrange (макс. r) или KKT при неравенствах; при гладкой огибающей — используйте support function и shape operator для связи смещений и кривизн.

Замечания и особые случаи

Если активные нормали становятся вырожденными (матрица A singular), поведение может быть некорректным: малое сдвигание может вызвать перестройку активных граней (скачок положения касательной точки).В гладком случае вместо плоскостей рассматривают касательные плоскости поверхности; формулы через поддержку/shape operator дают более «геометрическое» понимание зависимости точки касания от смещения плоскости.

Если нужно, могу:

Выписать явную формулу для dc, dr в примере с четырьмя гранями (с конкретными nj),Показать численный пример (матрица A, инверсия, график движения точек),Или привести вывод через функцию опорной и shape operator детальнее.