Обозначим через [XYZ] (обычно положительную величину) площадь треугольника XYZ. Рассмотрим функцию
F(P) = [PAB] + [PCD] − [PBC] − [PDA].

1) Покажем, что середины диагоналей принадлежат множеству решений.

Пусть M_AC — середина AC. Так как точки A, M_AC, C лежат на одной прямой, то треугольники M_ACAB и M_ACCB имеют одинаковую высоту из вершины B на прямую AC, а основания этих треугольников равны (MA = MC). Поэтому
[M_ACAB] = [M_ACCB].
Аналогично для вершин D получается
[M_ACCD] = [M_ACDA].
Сложив, получаем
[M_ACAB] + [M_ACCD] = [M_ACCB] + [M_ACDA],
т. е. M_AC удовлетворяет условию. Точно так же выполняется условие для середины M_BD отрезка BD.

Итак, две различные точки (середины диагоналей) принадлежат искомому множеству.

2) Линейность и вывод о геометрическом месте.

Введём направленные (алгебраические) площади; тогда для фиксированного отрезка, скажем AB, функция P ↦ [PAB] аффинно зависит от координат точки P (площадь пропорциональна направленному расстоянию точки P до прямой AB). Следовательно F(P) — аффинная (линейно-афинная) функция от координат P. Уравнение F(P) = 0 задаёт либо прямую, либо всю плоскость, либо пустое множество. Но мы уже нашли две различные точки, для которых F = 0, значит множество решений — прямая, проходящая через эти две точки, т. е. прямая, соединяющая середины диагоналей AC и BD.

3) Особый случай.

Если середины диагоналей совпадают (это происходит тогда и только тогда, когда диагонали делят друг друга пополам, т. е. ABCD — параллелограмм), то найденная «прямая» вырождается в точку, а аффинная функция F(P) при этом тождественно равна нулю — условие выполняется для любой точки P плоскости. Следовательно в случае параллелограмма множеством решений является вся плоскость.

Связь с точкой O и свойствами диагоналей: точка O (пересечение диагоналей) в общем случае не лежит на этой прямой; только в частном (параллелограмм) O совпадает с серединами диагоналей и условие выполняется везде. Прямая, которую мы получили, — это линейное соединение середин диагоналей (она иногда называется «ньютоновской» прямой соответствующего неполного квадрилента).