Рассмотрим треугольник ABC. На сторонах AB и AC внешне построены равносторонние треугольники PAB и QAC (вершины P и Q лежат вне треугольника ABC). В каждом из этих равносторонних треугольников проведена медиана от внешней вершины к основанию, то есть от P к середине M1 отрезка AB и от Q к середине M2 отрезка AC. Требуется исследовать взаимное расположение «полученных точек/прямых».

Основное замечание (для равносторонних треугольников).
В любом равностороннем треугольнике вершина, противоположная основанию, лежит на перпендикуляре, проходящем через середину основания: медиана из вершины одновременно является и высотой, и симметральной осью основания. Поэтому отрезок PM1 — это перпендикуляр, проходящий через середину AB, т. е. перпендикуляр БИСЕКТОР (перпендикуляр на середине) отрезка AB. Аналогично QM2 — перпендикуляр на середине отрезка AC.

Но пересечение перпендикуляров, проведённых через середины AB и AC, — это центр окружности, проходящей через A, B и C (то есть описанный круг треугольника ABC). Иначе говоря, перпендикуляры к AB и AC в их серединах пересекаются в единственной точке O — описанном центре треугольника ABC.

Следовательно: прямые PM1 и QM2 пересекаются и точка их пересечения совпадает с центром описанной окружности треугольника ABC.

Формулировка результата.
Медианы равносторонних треугольников, построенных наружу на сторонах AB и AC, пересекаются в центре описанной окружности треугольника ABC.

Обобщение.
То же утверждение остаётся верным для любых двух подобных равнобедренных треугольников, построенных на AB и AC одинаково (внешне либо одинаково внутренне) с равными углами у вершин над основаниями: в равнобедренном треугольнике медиана из вершины основания является и его высотой и осью симметрии, следовательно отрезки от вершин таких равнобедренных треугольников до средин оснований совпадают с перпендикулярами к AB и AC в серединах этих сторон и вновь пересекаются в описанном центре треугольника ABC.

Ещё более общее обобщение: если на сторонах AB и AC построены два подобных фигуры (или треугольника), так что соответствующие «выделенные» точки (апексы, центры симметрии и т.п.), рассматриваемые относительно основания, являются образами середины основания при некоторой одинаковой для обоих фигур симметрии/повороте вокруг середины основания (другими словами: фигуры установлены на AB и AC одинаково, с осью симметрии, проходящей через середину основания), то соединяющие эти выделенные точки с серединами AB и AC будут совпадать с перпендикулярами к AB и AC в серединах, и потому тоже пересекутся в центре описанной окружности ABC.

Короткая интерпретация: если фигуры, приклеенные к AB и AC, симметричны относительно середины основания (как равнобедренные или равносторонние треугольники), то соответствующие «медианы» — это перпендикуляры к AB и AC в серединах, и они имеют общую точку — центр описанной окружности исходного треугольника.

Замечание.
Если на AB и AC построены неравнобедренные, хотя и подобные друг другу фигуры (т. е. нет оси симметрии относительно середины основания), то прямые от их внешних вершин к серединам AB и AC в общем случае не будут совпадать с перпендикулярами и не обязательно пересекутся в одном фиксированном геометрическом центре (в общем случае пересечение будет смещено и зависит от формы фигур). Поэтому естественное и полезное обобщение — именно на подобные равнобедренные (включая равносторонние) фигуры.