Ниже — систематическое исследование указанной «малой» проектной конфигурации и методика проверки типичных «особых» свойств $Desargues,гармоническоеделение,какнаправлениекPascal$. Сразу оговорюсь: многие утверждения — общие проектные теоремы $Desargues,Pascalит.п.$, здесь я покажу, как их получить и проверять в конкретной координатной модели.

Постановка задачи и обозначения

Даны три прямые a, b, c и три точки A, B, C в общей позиции $никакиедваизA,B,Cнележатнаоднойизa,b,cиникакиедвеизпрямыхнесовпадают$.Пусть вершины треугольника, образованного прямыми a,b,c, обозначим через
P_ab = a ∩ b, P_bc = b ∩ c, P_ca = c ∩ a.Рассмотрим треугольник ABC и треугольник P = $P_{a}b,P_{b}c,P_{c}a$.Интересуют точки пересечения «соответствующих» сторон: X = a ∩ AB, Y = b ∩ BC, Z = c ∩ CA, и вопросы:
$i$ при каких условиях точки X,Y,Z коллинеарны $Desargues-тип$;
$ii$ когда на некоторой прямой получаются гармонические четырки;
$iii$ как это проверять в координатах; с замечаниями про Pascal.

Теорема Desargues $внужномчастномвиде$ Формулировка, адаптированная к нашей конфигурации:
Если треугольники P = $P_{a}b,P_{b}c,P_{c}a$ и T = $A,B,C$ перспективны из точки $тоестьлинииA{P}_{a}b,B{P}_{b}c,C{P}_{c}aпересекаютсяводнойточке$, то точки X = a∩AB, Y = b∩BC, Z = c∩CA лежат на одной прямой $перспективныизлинии$. И обратно: если X,Y,Z коллинеарны, то линии A P_ab, B P_bc, C P_ca конкурентны.

Это — стандартный Desargues $вевклидовой/проектнойплоскости$. Доказательство классическое $можнодатьсинтетическое$, но удобно проверить в координатах — см. раздел 4.

Гармоническое деление
Определение: четыре коллинеарные точки $U,V;W,T$ образуют гармоническую четвёрку, если их двойное отношение $cross-ratio$ равно −1:
$U,V;W,T$ = −1.
В нашей конфигурации гармоничность может появиться, например, если на линии ℓ $полосепересечений$ лежат четыре точки вида {a∩AB, a∩some-other-line, …} или при особом расположении A,B,C относительно треугольника a,b,c. Условие записывается через детерминанты / дроби координат $см.далее$: вычисляется проективная координата каждой точки на параметризованной ℓ и затем проверяется равенство cross-ratio = −1.

Координатная модель $удобнаядлявычислений$ Работа в проективной плоскости P^2 с однородными координатами $X:Y:Z$. Для простоты и симметрии положим

a: X = 0,b: Y = 0,c: Z = 0.
Тогда вершины треугольника, образованного этими тремя прямыми:
P_ab = a∩b = $0:0:1$, P_bc = b∩c = $1:0:0$, P_ca = c∩a = $0:1:0$.

Обозначим точки
A = $1:u:v$, B = $1:p:q$, C = $1:r:s$ $этообщийвиддляточек,нележащихна«координатных»прямых;есликакая-тоточкалежит,координатыможноадаптировать$.

4.1. Пересечения соответствующих сторон $X,Y,Z$ Вычисляем через векторное произведение $crossproduct$ линии и пересечения:

линия AB = A × B = $uq-vp,v-q,p-u$.
Пересечение с a $X=0$ даёт точку
X = a ∩ AB = $0:p-u:q-v$.

линия BC = B × C = $ps-qr,q-s,r-p$.
Пересечение с b $Y=0$ даёт точку
Y = b ∩ BC = $r-p:0:qr-ps$.

линия CA = C × A = $rv-su,s-v,u-r$.
Пересечение с c $Z=0$ даёт точку
Z = c ∩ CA = $s-v:su-rv:0$.

4.2 Условие коллинеарности X,Y,Z
Три гомогенных вектора коллинеарны ⇔ детерминант матрицы с ними как строками = 0. Подставляем строки X,Y,Z $каквыше$ и получаем $послеразложенияпопервойколонке$ компактную формулу

det$$X;Y;Z$$ = $r-p$$q-v$$su-rv$ + $s-v$$p-u$$qr-ps$ = 0.

Это — явный алгебраический критерий коллинеарности X,Y,Z в выбранной системе координат.

4.3 Условие конкуренции линий A P_ab, B P_bc, C P_ca
Вычислим уравнения линий:

P_ab = $0:0:1$. Линия A P_ab = A × P_ab = $u,-1,0$ ⇒ уравнение u X − Y = 0 $Y=uX$.P_bc = $1:0:0$. Линия B P_bc = B × P_bc = $0,q,-p$ ⇒ q Y − p Z = 0 $qY=pZ$.P_ca = $0:1:0$. Линия C P_ca = C × P_ca = $-s,0,1$ ⇒ −s X + Z = 0 $Z=sX$.

Точка пересечения этих трёх линий существует $сненулевымикоординатамиX$ ⇔ подстановка Y = u X, Z = s X в второе уравнение даёт
q u X = p s X ⇔ q u − p s = 0.

Таким образом, условие конкуренции $перспективаизточки$ сводится к простому алгебраическому равенству
q u − p s = 0.

4.4 Связь между условиями $Desargues$ — комментарий
Desargues гарантирует логическую эквивалентность этих двух свойств $перспективностьизточки\iff перспективностьизпрямой$. В координатах это означает, что детерминант из пункта 4.2 должен быть тождественно равен нулю при условии q u − p s = 0. Проверка — прямое алгебраическое тождество: подставляя q u = p s в выражение det$$X;Y;Z$$ и выполняя элементарные преобразования, получим ноль. $Напрактикеудобноубедитьсявэтом,разложиввыражениепопараммножителейилипровериввCAS/символическомалгебраическомпакете;япривёлявныеформулы,скоторымиэтоможносделатьнапрямую.$

Проверка гармоничности $cross-ratio$ в координатах
Пусть на прямой ℓ $например,налинии,гдеоказалисьX,Y,Z$ лежат четыре точки P1,P2,P3,P4. Проективный cross-ratio можно выразить через детерминанты: для фиксированной точки R вне ℓ
$P1,P2;P3,P4$ = $$det(P1,P3,R)\cdot det(P2,P4,R)$$ / $$det(P1,P4,R)\cdot det(P2,P3,R)$$,
где det$P,Q,R$ — детерминант 3×3 матрицы с однородными координатами P,Q,R. $ЗнаменательнезависитотвыбораR\ne лежащейна\ell ,поэтомуотношениекорректно.$

В нашем случае для проверки гармоничности нужно:

выбрать параметризацию прямой ℓ $иливзятьпроизвольнуюRивычислятьвышеописанныедетерминанты$;подставить координаты четырех пересечений $например,X,X^{\prime },Y,Z$ и проверить, равно ли отношение −1.

Пример частного случая: часто гармонические четверки появляются в полной четырёхугольной конструкции $completequadrilateral$ и в ситуациях, когда одна из точек является центром подобия/перспективы и т.д.; в координатах это сводится к одному рациональному уравнению на координаты.

Pascal: как это связано и как проверять

Pascal говорит: если шесть точек на эллиптической $вобщем—любой$ конике образуют шестиуголь, то три пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой $Pascalline$.В нашей «малой» конфигурации можно получить шестиуголь, чередуя точки на трёх прямых и т. п. $например,выбираянакаждойизпрямыхa,b,cподветочки,возможносвязанныесA,B,C$ — при том что эти шесть точек лежат на конике, тогда пересечения противоположных сторон дадут коллинеарные точки. Проверка в координатах: задать уравнение коники $квадратичнаяоднороднаяформа$, задать шесть точек на ней, построить уравнения соответствующих сторон $векторноепроизведениеточек$, пересчитать пересечения и проверить детерминантом коллинеарность.

Резюме и практическая рекомендация для проверок

Положите a:X=0, b:Y=0, c:Z=0; задайте A=$1:u:v$, B=$1:p:q$, C=$1:r:s$.Вычисляйте пересечения через векторное произведение $crossproduct$ и проверяйте:конкуренцию линий A P_ab, B P_bc, C P_ca по равенству q u − p s = 0;коллинеарность X,Y,Z по детерминанту det$$X;Y;Z$$ = 0 $формуласм.вп.4.2$.Для гармоничности вычисляйте cross-ratio через детерминанты $формулавп.5$.Для проверки Pascal: задайте конику, шесть точек на ней, найдите три пересечения противоположных сторон, проверьте их коллинеарность детерминантом.

Пример численной проверки $быстрыйтест$ Для набора конкретных чисел $u,v,p,q,r,s$ можно прямо подставить в формулы пункта 4 и проверить обе стороны теоремы в CAS или даже вручную для простых значений. Например, если взять
u = 1, v = 2; p = 2, q = 1; r = 3, s = 3,
то q u − p s = 1·1 − 2·3 = 1 − 6 = −5 ≠ 0 ⇒ линии не конкурируют, и детерминант det$$X;Y;Z$$ по формуле тоже даст не ноль; если подобрать p,q,u,s так, что q u = p s, то детерминант обнуляется — что иллюстрирует Desargues.

Если хотите, могу:

сделать полную символическую факторизацию det$$X;Y;Z$$ и показать явно, что она кратна $qu-ps$ $илидатьточнуюфакторизацию$;привести численные примеры с явным вычислением cross-ratio и пример с построением коники и проверкой Pascal в координатах;подготовить код $например,вSage/Python/Mathematica$ для автоматической проверки таких условий.

Скажите, что из этого вам наиболее полезно — дам подробные выкладки / пример в CAS / синтетическое доказательство Desargues.