Кратко опишу общую идею, затем практический метод $развёртки/отражения$, какие развёртки надо рассматривать, частные случаи $пересечениерёберивершин$ и связь с общей теорией геодезических на многогранниках.

1) Идея $почемуразвёрткаработает$

Любой кратчайший путь $коротчайшаякривaя$ на поверхности выпуклого многогранника между двумя точками является геодезической: локально он прямой $вразвёртке—отрезок$. Если взять набор граней поверхности, составляющий просто связную часть, и «развернуть» их в плоскость $сохранитьсопряжениепоребрам$, то образ кратчайшего пути на этой развёртке — обычный отрезок в плоскости. Обратно, любой отрезок в развёртке, не выходящий за границы этой части, даёт путь на поверхности с той же длиной.

2) Практический метод $методотражений/развёрток$

Пусть куб со стороной a; на двух гранях заданы точки P и Q $внутригранейилинаихграницах$. Постройте в плоскости решётку квадратов $каждыйквадрат—развёрткаоднойграникуба$ путём отражений через ребра: отражение грани через ребро даёт соседний квадрат, и так далее. Это эквивалентно перебору всех возможных развёрток, в которых обе точки окажутся на одной плоскости. Для каждой отражённой копии Q' вычислите евклидову дистанцию d$P,Q^{\prime }$. Каждая такая дистанция соответствует пути, который на поверхности проходит через тот набор граней, которые использовались при отражении Q → Q'. Минимальная из этих дистанций даёт длину кратчайшего пути на поверхности; сам отрезок P — Q' при обратном «свёртывании» даёт геодезическую на кубе.

Преимущество метода отражений: не надо явно перебирать все топологические разрезы $нейтральныеразвёртки$ — достаточно перебрать образы Q в плоскости.

3) Какие изображения Q надо рассмотреть $ограничениеперебора$

На практике достаточно смотреть финитное число копий Q рядом с P: потому что длина сама по себе ограничена $небудетбольшенесколькихдиаметровкуба$, и изображения, слишком удалённые, дадут большие расстояния. Для куба со стороной a обычно достаточно проверять копии Q с координатными сдвигами по сетке не дальше 2–3 квадратов в каждом направлении. Теоретически отражения соответствуют путям, которые проходят через различные последовательности граней $цепочкисмежныхграней$. Для куба наиболее длинная нужная цепочка для соединения двух противоположных граней — три грани подряд $напрактикеможнопотребоватьдо4гранивцепочкедлянекоторыхконфигураций,нопереборостаётсянебольшим$.

4) Все возможные развёртки $комментарий$

Для куба существует 11 неналоженных $неэквивалентныхприсимметриях$ развёрток всех 6 граней. Это классический факт $11сетоккуба$. Любая развёртка, дающая путь P→Q, топологически представляет собой просто связное множество граней, содержащее обе грани с P и Q. Но в задаче «кратчайшего пути» обычно не требуется развёртывать весь куб — только ту часть, через которую может идти путь. Эквивалентно, метод отражений перебирает все нужные локальные развёртки без необходимости рисовать все 11 глобальных сеток. Итого: формально можно перечислить все 11 развёрток, но это не обязательно: достаточно понимать, что любой отрезок в любой допустимой развёртке соответствует какому‑либо отражению Q, а метод отражений гарантированно учитывает все варианты.

5) Проход через ребро и условия «равных углов»

Когда кратчайший путь пересекает ребро $неввершине$, это нормально и типично. В развёртке такой путь — единственный прямой отрезок, при склейке он пересекает ребро. На самом деле условие локальной геодезичности при переходе через ребро сводится к равенству углов между отрезком и ребром, измеренных в двух смежных гранях: при развёрнутом виде отрезок — прямая, углы одинаковые. Поэтому при поиске в развёртке никаких дополнительных условий проверять не надо — отрезок автоматически удовлетворяет условию. Если кратчайший путь идёт вдоль ребра $тоестьчастьпутилежитнаребре$, это возможно, но обычно возникает в вырожденных/переходных ситуациях $когдалучшеидтиточнопоребру,чемпоповерхностирядом$. Тогда существуют близкие пути, смежные к ребру, с той же длиной или чуть большей.

6) Проход через вершину $особаяситуация$

Если отрезок в развёртке проходит ровно через точку, соответствующую вершине куба, то при обратном склеивании путь проходит через вершину. На вершине поверхность не гладкая $острыйконус$; поведение геодезических здесь особое:
Кратчайший путь через вершину возможен, но это «крайний»/мертвый случай: такие ситуации имеют меру ноль при случайном выборе P и Q. Проход через вершину часто приводит к неединственности: из вершины может выходить несколько разных «равноудалённых» направлений на поверхности, дающих одинаковую длину пути. Пример: две симметричные траектории, «обходящие» вершину по разным парам граней, могут иметь одинаковую длину. Теоретически существует всегда хотя бы один кратчайший путь между двумя точками на выпуклом многограннике; он может проходить через вершину, но тогда разложение на развёртки требует аккуратности $нужноучитыватьнесколькоразвёрток,вкоторыхточкавершиныпопадаетна«узловую»точкуотрезка$.

7) Уникальность и количество кратчайших путей

Для точки внутри граней $ненаребрах/вершинах$ кратчайший путь обычно единственен. Могут быть несколько равноудалённых кратчайших путей при симметриях или при прохождении через вершину/ребро в особых соотношениях координат. Существуют верхние оценки на число различных минимальных путей на выпуклом многограннике, но в практических случаях на кубе их немного.

8) Алгоритм для численного поиска $пошагово$

Пометьте координаты P на своей грани и Q на её грани $координатыв[0,a]\times [0,a]всистемекоординаткаждойграни$. «Размножьте» точку Q отражениями через ребра $эквивалентнокладкесоседнихквадратов$. Для каждой отражённой копии Q' найдите евклидову длину |P − Q'|. Запомните минимальную длину и соответствующую копию Q'. Постройте отрезок P — Q' в плоскости и сверните развёртку обратно на поверхность, восстановив траекторию. Проверяйте особые случаи: если отрезок попадает точно на вершину квадратной решётки, тогда требуется учесть эквивалентные развёртки — возможно несколько путей с одинаковой длиной. На практике достаточно просматривать отображения Q' в окрестности P в пределах нескольких квадратов $обычносмещений-\mathrm{2..2}поосям$.

9) Связь с теорией геодезических на многогранниках

Метод развёрток/развёртывания — стандартная техника в теории геодезических на плоско-выпуклых поверхностях $Александров,Пуансо,др.$. Геодезическая на многограннике — это образ прямой линии после развёртки. Понятия связаны: «разрез» поверхности по дереву, «развёртка» в плоскость, «система отражений» соответствуют классу возможных геодезических. Алгоритмически поиск кратчайшего пути на произвольном полиэдре — классическая задача: существуют алгоритмы общего случая $Mitchell–Mount–Papadimitriou,1987$ с полиномиальной сложностью, которые используют подобные идеи $разворачиваютлокальныеобласти,строятдиаграммырасстоянийит.п.$. Для куба задача тривиальна и решается методом отражений за конечный малый перебор.

10) Небольшие примеры-интуиция

Если грани смежные: разверните одну грань на соседнюю, получите прямоугольник a×2a; кратчайший путь — прямая в этом прямоугольнике. Если грани противоположные: одна естественная развёртка — три квадрата в ряд $развёрнутыечерездвасоседнихребра$; прямой отрезок между P и одной из отражённых копий Q даёт кандидата. Но есть несколько таких рядов $4направления$, нужно выбрать минимальный. Если P и Q расположены так, что прямая в развёртке проходит ровно через вершину квадрата, возникнет несколько одинаково коротких путей, соответствующих различным способам «обойти» вершину по поверхности.

11) Выводы и практические советы

Для куба самым удобным и исчерпывающим инструментом является метод отражений: он автоматически перебирает все развёртки, даёт численную величину длины кратчайшего пути и конструкцию самой траектории. Особые случаи $прохождениечерезвершину$ требуют аккуратной обработки: проверка на попадание отрезка в узлы решётки и учёт нескольких эквивалентных маршрутов. Теория геодезических на полиэдрах даёт общий язык и теоретические гарантии $существование,условиялокальнойгеодезичности,связьсразвёртками$, а практические алгоритмы для произвольных полиэдров — более сложны, но для куба всё редуцируется к простому перебору отражений.

Если хотите, могу:

привести конкретную формулировку метода отражений на координатах $задатьсистемукоординатдлягранейипоказать,какполучитькоординатыотражённыхкопийQ$; разобрать несколько конкретных примеров $например:Pвцентреоднойграни,Qвцентресмежной/противоположной/диагональнорасположенной$ и найти кратчайшие пути явными вычислениями.