В основании тетраэдра sabc лежит равносторонний треугольник abc со стороной 4. Найди градусную меру угла между плоскостями sac и ABC, если sa=27 и ребро sb перпендикулярно abc
В основании тетраэдра sabc лежит равносторонний треугольник abc со стороной 4. Найди градусную меру угла между плоскостями sac и ABC, если sa=27 и ребро sb перпендикулярно abc
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Построим систему координат: поместим плоскость ABC в плоскость z=0. Пусть
A=0,0,00,0,00,0,0, C=4,0,04,0,04,0,0, B=2,2√3,02,2√3,02,2√3,0 высотаравностороннеготреугольникасостороной4равна2√3высота равностороннего треугольника со стороной 4 равна 2√3высотаравностороннеготреугольникасостороной4равна2√3.
Так как SB ⟂ плоскости ABC, то S имеет те же x,y координаты, что и B, т.е. S=2,2√3,h2,2√3,h2,2√3,h.
Из SA=27: |SA|^2 = 2^2 + 2√32√32√3^2 + h^2 = 16 + h^2 = 27^2 = 729, откуда h^2 = 713.
Вектор AC = 4,0,04,0,04,0,0, вектор AS = 2,2√3,h2,2√3,h2,2√3,h. Нормаль к плоскости SAC равна
n = AC × AS = 0,−4h,8√30, -4h, 8√30,−4h,8√3.
Нормаль к плоскости ABC направлена вертикально 0,0,10,0,10,0,1. Угол φ между плоскостями равен углу между нормалями, значит
cos φ = n_z / |n| = 8√3 / √16h2+19216h^2 + 19216h2+192 = 2√32√32√3 / √h2+12h^2 + 12h2+12.
Подставляя h^2 = 713, получаем
cos φ = 2√3 / 5√295√295√29.
Следовательно φ = arccos2√3/(5√29)2√3/(5√29)2√3/(5√29) ≈ 82.62°.
Ответ: φ = arccos2√3/(5√29)2√3/(5√29)2√3/(5√29) ≈ 82.6°.