Пусть (AB=a), вектор (AD=(p,q)), (d=|AD|). Введём систему: (A(0,0)), (B(a,0)), (D(p,q)), (C(a+p,q)). Так как (BK=9) см, (KC=15) см, то (BC=24) см и точка (K) делит (BC) с параметром (s=\tfrac{3}{8}), т.е.
[
K=\Bigl(a+\tfrac{3}{8}p,\ \tfrac{3}{8}q\Bigr).
]
Направление биссектрисы угла (A) равно (\displaystyle u{AB}+u{AD}=(1,0)+\frac{(p,q)}{d}=\Bigl(1+\frac{p}{d},\ \frac{q}{d}\Bigr)). Поскольку (K) лежит на биссектрисе, из соотношения компонент получаем
[
\frac{\tfrac{3}{8}q}{\;d^{-1}q\;}=\frac{a+\tfrac{3}{8}p}{\,1+\tfrac{p}{d}\,},
]
откуда после сокращения (q) следует
[
\frac{3}{8}(d+p)=a+\frac{3}{8}p\quad\Rightarrow\quad\frac{3}{8}d=a.
]
Значит (d=\tfrac{8}{3}a). Но (d=|BC|=24) см, поэтому (a=9) см и (d=24) см. Периметр параллелограмма
[
P=2(AB+AD)=2(a+d)=2(9+24)=66\ \text{см}.
]

Ответ: (\;66\ \text{см}).