Положим координаты вершин: (A(x_1,y_1),\;B(x_2,y_2),\;C(x_3,y_3),\;D(x_4,y_4)), где все (x_i,yi\in\mathbb Z). Середины отрезков:
[
M{AB}\Big(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y2}{2}\Big),\qquad
M{CD}\Big(\frac{x_3+x_4}{2},\frac{y_3+y4}{2}\Big).
]
Расстояние между ними:
[
\mathrm{dist}(M{AB},M_{CD})=\frac{1}{2}\sqrt{(x_1+x_2-x_3-x_4)^2+(y_1+y_2-y_3-y_4)^2}.
]
Поскольку все координаты целые, подкоренное выражение — целое число, поэтому расстояние имеет вид (\dfrac{\sqrt{n}}{2}) для некоторого целого (n).