Натурно обозначим последовательность окружностей (C_1,C_2,\dots) и интересующее множество
[
S={x\in\mathbb R^2:#{n:\;x\in C_n}\equiv1\pmod2},
]
(точки, лежащие на нечётном числе окружностей). Ключевые факторы — локальная конечность семьи окружностей и поведение точек-накоплений. Ниже — кратко и по существу.

1) Предположение, нужное для корректности

Если для некоторой точки число окружностей, проходящих через неё, бесконечно, то понятие «чёт/нечёт» может быть неоднозначным; поэтому разумно потребовать локальную конечность: для любого компактного (K) есть не более конечного числа окружностей, пересекающих (K). Эквивалентно: каждая точка принадлежит конечному числу окружностей. Далее предполагаем локальную конечность, если не сказано иначе.

2) Локальная структура и размерность

При локальной конечности вокруг любой точки окружности выглядят как конечное число гладких дуг, пересекающихся как ветви. Следовательно (S) — объединение открытых дуг (на окружностях) и, возможно, отдельных точек (точки, лежащие на ровно одной окружности и т.д.). В частности (S) — счётное объединение одномерных гладких кусочно-замкнутых множеств, поэтому его хаусдорфова размерность не превосходит (1).Замыкание (\overline S) содержит все окружности (а точнее — их объединение) и может быть куда «густее» по отношению к топологии плоскости (вплоть до плотно пересекающего всю область), но само (S) при локальной конечности остаётся «1‑мерным».

3) Замкнутость

В общем случае (S) не замкнуто: типичная причина — точки пересечения двух окружностей. Если две окружности пересекаются в точке (p), то обычно (p) принадлежит двум окружностям (чётно) и потому (p\notin S), но любой окрестности (p) встречаются дуги (S), поэтому (p\in\overline S\setminus S). Таким образом для типичных (трансверсальных) пересечений (S) не замкнуто.Критерий замкнутости (при локальной конечности): (S) замкнуто тогда и только тогда каждое предельное/пересечное положение точки (т.е. каждая точка в (\overline{\bigcup_n C_n})) принадлежит нечётному числу окружностей. Иначе говоря, все точки, которые являются пределами дуг (S), должны сами быть элементами (S). Это крайне нетипично (обычно пересечения даются чётным числом окружностей), поэтому замкнутость — частный случай.

4) Связность

Локально (S) состоит из дуг, соединяющихся только в тех пересечениях, которые принадлежат (S) (т. е. точки с нечётной кратностью). Поэтому топологически ситуация сводится к графу: вершины = точки пересечения, которые входят в (S); рёбра = дуги окружностей между вершинами, принадлежащие (S). Тогда
(S) связно ⇔ этот граф (включая возможные бесконечные цепи) связен.Примеры: «цепочка» перекрывающихся окружностей с таковыми пересечениями, что в каждой точке кратность нечётна, даёт связный (S). Две пересекающиеся окружности дают несвязное (S) (симметрическая разность двух окружностей даёт несколько отдельных дуг).В отсутствие локальной конечности возможны бесконечные цепочки/накопления, которые дают либо один связный компонент, либо аддитивно много компонент — зависит от детали предельных точек.

5) Фрактальность — когда и как возникает

Само (S) (при локальной конечности) остаётся объединением кусочно‑гладких дуг, поэтому как «чистая» фрактальная кривая оно обычно не возникает. Однако фрактальные свойства появляются при накоплении окружностей:
если центр(ы) и радиусы окружностей имеют точки накопления, то пересечения могут аккумулироваться на множестве сложной структуры (например, создавая кантороподобный набор точек пересечения на некоторой окружности). Тогда (\overline S) может иметь фрактальную структуру (самоподобные предельные множества, положительная фрактальная размерность), хотя (S) как множество дуг остаётся одномерным.при специальной самоподобной конструкции окружностей (похожей на построение Апполониевой упаковки или канторовой решётки пересечений) множество предельных точек может быть кантороподобным и иметь непрощеёную фрактальную размерность (<2). Такие конструкции дают «фрактальность» в (\overline S) или в множестве накопления концов дуг.Если последовательность окружностей плотна в области (т.е. их объединение плотно в какой‑то области), то (\overline S) может совпасть с областью (размерность 2), однако сам (S) при счётной семье гладких окружностей остаётся объединением одномерных кривых (нуля мера), хотя топологически плотным в области может быть его замыкание.

6) Итог — краткие правила для практики

Чтобы иметь корректно определённую нечётность в каждой точке, требуйте локальной конечности (каждая точка лежит в конечном числе (C_n)).В типичном положении (попарные пересечения в двух точках, без аккумулирования) (S) — счётная совокупность открытых дуг (1‑мерное множество), обычно не замкнуто и разбиено на много компонент (зависит от структуры пересечений).(S) замкнуто лишь в исключительных случаях, когда все предельные/пересечные точки имеют нечётную кратность.Фрактальность появляется при аккумулировании пересечений и самоподобных конструкциях; тогда (\overline S) или множество точек‑накоплений может быть фракталом. При отсутствии аккумулирования фрактальная структуры не возникает: (S) остаётся «криволинейным» (хаусдорфова размерность (\le1)).

Если хотите, могу разобрать конкретные примеры (цепочка перекрывающихся окружностей; одна последовательность, центры которой сходятся к точке; аполлониида‑подобная упаковка) и показать, как в каждом случае выглядят (S), (\overline S), их связность и замкнутость.