Краткая формулировка задачи
1) Поверхность: (S\subset\mathbb{R}^3) — заданная замкнутая/открытая поверхность (крыша, рельеф) с мерой площади (\mu).
2) Датчик (i) описывается позицией (p_i\in F\subset\mathbb{R}^3) (допустимые места установки, часто на поверхности (F\subset S)), ориентацией (вектор) (u_i\in\mathbb{S}^2), полем зрения (конус/пирамида) и максимальной дальностью (r_i), углом обзора (\theta_i). Видимая область датчика:
[
V_i={x\in S:\;|x-p_i|\le r_i,\; \angle(x-p_i,u_i)\le\theta_i/2,\; \text{и линия }[p_i,x]\text{ не загораживается}}.
]
Цель — выбрать (n) датчиков (пары ((p_i,ui))) так, чтобы, например, максимизировать покрытую площадь
[
\max{p_i,ui}\; \mu\Big(\bigcup{i=1}^n V_i\Big)
]
или минимизировать число датчиков при требуемом покрытии (\mu(\bigcup_i V_i)\ge \alpha\mu(S)).

Ключевые ограничения: допустимые места (F), физические (углы, крепления), минимальные расстояния между датчиками, бюджет/энергия, требование на перекрытие/резервирование.

Анализ и сведение к геометрической оптимизации

Видимость — ключевая геометрическая операция. Задача сводится к покрытию поверхности множеством видимых от точек областей: это 3D-версия задачи art‑gallery / set cover. Формально дискретизация даёт задачу булевого покрывающего множества (set cover): пусть сет точек на поверхности (X={xk}{k=1}^m). Для каждого кандидата установки (j) (позиция+ориентация) предвычислить множество точек (Aj\subset X) видимых из (j). Тогда решение — выбрать подмножество кандидатов минимального размера, покрывающее (X) (или максимум покрытия при ограничении на число):
[
\min{y_j\in{0,1}} \sum_j yj \quad\text{s.t.}\quad \sum{j: x_k\in A_j} y_j \ge 1\;\; \forall k.
]

В непрерывной форме задача не выпукла и как правило NP‑трудна (комбинаторная по выбору позиций/ориентаций). Можно рассматривать оптимизацию меры покрытия (\mu(\bigcup V_i)) — функция несимметрична, нечёткая на границах из‑за видимости/окклюзий.

Практический методический подход (пошагово)

Предобработка поверхности: треангуляция/редуцирование сетки, выделение допустимых зон (F).Генерация кандидатов: производить дискретный набор позиций (P={p_j}) (например, с регулярной сеткой или с использованием интересных точек — гребни, карнизы) и для каждой позиции несколько ориентиров (u) (фиксированные углы/шаг). Это даёт конечный набор кандидатов (j).Предвычисление видимости: для каждого кандидата выполнить ускорённый ray‑casting / rasterization / GPU‑мэппинг чтобы получить множества покрываемых точек (A_j). Использовать BVH/октодерево для ускорения.Решение дискретной задачи:
Если цель — максимум покрытия при ограничении на (k) датчиков: это задача максимизации подмодулярной функции при кардинальном ограничении → жадный алгоритм даёт приближённый фактор ((1-1/e)).Если минимизировать число датчиков при полном покрытии: решать как Set Cover — жадный алгоритм даёт приближение (O(\log m)); при средних размерах — Mixed Integer Programming (MIP) (солверы: CPLEX, Gurobi).Локальная доработка (рефинемент): взяв выбранные кандидаты, выполнять непрерывную оптимизацию положений/ориентаций для локального улучшения покрытия. Здесь можно применять градиентные методы, если видимость аппроксимировать дифференцируемыми функциями (soft visibility), или стохастические методы (simulated annealing, CMA‑ES) для прямой безградиентной оптимизации.Валидация и итерация: симуляция фактической видимости по плотной сетке; при необходимости добавить кандидатов в проблемных зонах и повторить.

Методы решения — рекомендации по типу задачи

Малые/средние точные задачи (недискретизированный, требуются точные позиции): MINLP / глобальная оптимизация (Branch & Bound, BARON) + геометрическая проверка окклюзий. Дорого по времени.Большие практические задачи: дискретизация кандидатов + предвычисление покрытий + MIP/жадный/субмодулярный алгоритм. Это наиболее применимо для крыш и рельефа.Если требуется приближённость и устойчивость: жадный алгоритм для субмодулярной максимизации покрытия при фиксированном числе датчиков; жадный для set cover при минимизации числа.Для многокритериальных задач (покрытие, перекрытие, стоимость, устойчивость): эволюционные алгоритмы (NSGA‑II), многокритериальная MIP или многоцелевой градиентный подход.Гибрид: генерировать кандидатов → решать MIP/жадно → локально тонко оптимизировать непрерывно.

Особенности и практические приёмы

Окклюзии вычислять через быстрый ray tracing или z‑buffer рендеринг (GPU). Для больших карт использовать многопоточность и иерархические структуры.Сокращение размерности: кластеризация точек поверхности и репрезентация важности весами (w(x)); тогда оптимизировать взвешенную меру покрытия (\intS w(x)\mathbf{1}{\cup V_i}(x)\,d\mu).Использование субмодулярности: показатель покрытия поверхности обычно монотонен и субмодулярен — важное свойство, дающее гарантии для жадных алгоритмов.Для дифференцируемой оптимизации видимости вводят мягкие функции видимости: например, сигмоид по расстоянию до препятствия по лучу, чтобы получить приближённые градиенты.Учитывать сенсорные характеристики (разрешение, угол, рабочая дистанция), требования по потенциальным зонам обслуживания и резервированию (минимальное перекрытие для надёжности).

Сложность и оценки

Общая проблема NP‑трудна (обобщение art‑gallery / set cover). При дискретизации (m) точек и (N) кандидатов решение MIP — экспоненциально растущая сложность; в практике используют эвристики/приближения и иерархическое разбиение.

Краткое резюме рекомендаций

Для практических больших задач: дискретизация поверхности → генерация кандидатов → предвычисление видимости (GPU/BVH) → жадный алгоритм / MIP для выбора → непрерывная локальная доработка. Для точных/малых задач: прямые глобальные методы (MINLP) или комбинированный подход с локальной оптимизацией и точными проверками окклюзий. Всегда учитывать субмодулярность покрытия (использовать жадные приближения) и использовать ускорители видимости (ray tracing, GPU) для масштабируемости.