Кратко о свойствах и примерах применения.

1) Определение. Мёбиусово преобразование на расширенной комплексной плоскости задаётся
(f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}), где (a,b,c,d\in\mathbb C), (ad-bc\neq0). Пространство (\widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup{\infty}).

2) Что сохраняется

Общие окружности (generalized circles): каждое множество, являющееся либо обычной окружностью, либо прямой (прямая = окружность через (\infty)), переводится снова в окружность или прямую. Формально: образ любого круга/прямой — generalized circle.Углы: (f) (как мероморфное отображение без вырождений) сохраняет величину угла между гладкими кривыми в точке (конформность), т.е. углы по величине; ориентация сохраняется для холоморфных Мёбиус-преобразований, меняется при включении сопряжения (анти-Мёбиус).Касание и кратности пересечения: порядок пересечения (включая касание) сохраняется. Если две кривые касаются в точке (мультипlicity >1), то их образы касаются в образе точки с той же кратностью.Отношение перекрёстности (cross-ratio) сохраняется: для четырёх точек (z_1,z_2,z_3,z_4)
(\displaystyle (f(z_1),f(z_2);f(z_3),f(z_4))=(z_1,z_2;z_3,z_4)).Транзитивность: Мёбиусовы преобразования действуют тройственно транзитивно на (\widehat{\mathbb C}): для любых трёх различных точек есть единственное (f) задающее их образы.

3) Как преобразование меняет конфигурации касания и пересечения

Число точек пересечения двух generalized circles (с учётом кратности) инвариантно. Две разные generalized circles пересекаются в 0,1 или 2 точках — это число сохраняется.Касание (одинарная точка пересечения повышенной кратности) переводится в касание: если (C_1) и (C_2) касаются в (p), то (f(C_1)) и (f(C_2)) касаются в (f(p)).Если одна из точек пересечения переносится в (\infty), то локально пересечение превращается в параллельность (прямая через (\infty) = направление). Например, отправив точку касания в (\infty), можно превратить касающиеся окружности в две параллельные прямые.В случае анти-мёбиусовых отображений ориентация угла меняется (зеркально), но величина остаётся.

4) Принцип упрощения задач: стандартная идея — подобрать (f), переводящее сложную компоненту конфигурации в простую (прямая или окружность удобных координат), решать задачу в новых координатах, затем вернуть назад (f^{-1}). Частые полезные цели: отправить выбранную окружность в прямую (реальная ось), точку касания в (\infty), заданную точку в (0,\;1,\;\infty).

5) Пример (Апполониева задача — одна из стандартных): найти все окружности, касающиеся трёх заданных окружностей (C_1,C_2,C_3).

Применение Мёбиуса:

Шаг 1. Выберите (f) так, чтобы (f(C_3)) стала реальной осью (\mathbb R) (либо любая прямая). Это возможно: достаточно послать три различных точки на (C_3) в три вещественных значения (например (0,1,\infty)) с помощью подходящего дробно-линейного отображения.Шаг 2. Пусть образы (f(C_1),f(C_2)) — окружности с центрами (a_1,a_2) и радиусами (R_1,R_2) (в общем положении). Ищем искомую окружность (C), касающуюся (\mathbb R) и (f(C_1),f(C_2)). Для окружности (C) её центр имеет вид (z=x+ir) с (r>0) и её радиус равен (r) (радиус равен ординате центра при касании реальной оси).Условия касания к (f(C_i)) (внешнее/внутреннее касание учитывается знаком) дают
[
|z-a_i|=r\pm R_i,\qquad i=1,2.
]
Квадратируя и вычитая уравнения для (i=1) и (i=2), получаем линейное уравнение для (x) и (r):
[
(x-\Re a_1)^2+(r-\Im a_1)^2-(x-\Re a_2)^2-(r-\Im a_2)^2=(r\pm R_1)^2-(r\pm R_2)^2.
]
Это упрощается до линейного соотношения между (x) и (r). Пересечение этой прямой с ещё одним (полученным при другом выборе знаков) или с окружностью даёт конечное число решений — геометрически: задача сводится к пересечению прямой и круга (или двух прямых) — тривиальная конструкция циркулем и линейкой.Шаг 3. Полученные центры и радиусы дают решения в образе; возвращая назад с помощью (f^{-1}), получаем искомые окружности в исходной конфигурации.

Заключение. Мёбиусовы преобразования превращают сложные конфигурации окружностей и прямых в простые (линии, параллельные прямые, концентрические окружности и т. п.), при этом сохраняют касание, число и кратности пересечений и величины углов, что делает их мощным инструментом для упрощения и конструктивного решения задач (включая Апполониеву задачу, задачи касательных и т.д.).