Задача (Simson'а): в треугольнике (ABC) точка (P) лежит на описанной окружности. Пусть (X,Y,Z) — проекции точки (P) на прямые (BC,CA,AB) соответственно. Докажите, что (X,Y,Z) лежат на одной прямой (Simson‑прямая).

Координатно‑/комплексный метод (коренное упрощение). Берём комплексную плоскость так, чтобы описанная окружность треугольника была единичной: (a,b,c,p\in\mathbb C), (|a|=|b|=|c|=|p|=1). Тогда сопряжение сводится к обращению:
[
\overline{z}=\frac{1}{z}\quad\text{для }z\in{a,b,c,p}.
]
Условие ортогональности и условие принадлежности прямой легко формулируются в комплексах. Например, если (X) — проекция (P) на прямую (BC), то в комплексной форме ортогональности векторов даёт соотношение
[
\frac{X-p}{\overline{X}-\overline{p}}=-\frac{b-c}{\overline{b}-\overline{c}}.
]
Коллинеарность трёх точек (x,y,z) эквивалентна вырождению детерминанта
[
\begin{vmatrix}
x & \overline{x} & 1\[2pt]
y & \overline{y} & 1\[2pt]
z & \overline{z} & 1
\end{vmatrix}=0.
]
Подставив в эти формулы условия для (X,Y,Z) и используя (\overline{u}=1/u), получаем простые алгебраические равенства, которые сводятся к тождеству (последние вычисления — чистая алгебра, без угловых тождеств). Таким образом доказательство превращается в несколько строк алгебры вместо громоздкого синтетического «углового» рассуждения.

Почему это упрощает:

единичная окружность превращает сопряжение в обратное число (\overline{z}=1/z), поэтому геометрические свойства (окружность, перпендикулярность, отношение направлений) заменяются на простые алгебраические соотношения;вместо множества углевых и подобийных аргументов остаётся проверка равенств и нулей детерминантов — удобнее для механической проверки и для формализации (компьютерная алгебра).

Ограничения метода:

вычисления могут стать громоздкими и подвержены ошибкам, если нет удобной нормировки (единичная окружность, центр в начале координат и т.д.);метод «скрывает» геометрическую интуицию: алгебраическое тождество может не объяснять, почему факт верен геометрически;для конфигураций с элементами на бесконечности или при вырожденных случаях (коллинеарность исходных точек, касательные в особых точках) нужно аккуратно обрабатывать пределы и проекции;иногда синтетическое доказательство даёт более короткое и наглядное рассуждение; сложные симметрии лучше использовать соответствующую систему координат (например, барицентрические, афинные, тригонометрические) — выбор неверной системы может затруднить задачу.

Вывод: для задачи Simson'а комплексная нормировка с единичной окружностью даёт коренное упрощение (уменьшает доказательство до нескольких алгебраических шагов), но требует аккуратного выбора системы и внимательной алгебраической работы; в некоторых задачах синтетика остаётся более информативной.