Кратко и по существу.

Определение и общие случаи

Геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до фокусов (A) и (B) равна постоянной (S), это:
в случае (S>d) (где (d=|AB|)) — замкнутая кривая/поверхность (эллипс в плоскости, пролатоид/эллипсоид вращения в 3D);при (S=d) — отрезок между (A) и (B);при (S<d) — пусто (нет точек);при (A=B) (схождение фокусов) — окружность в плоскости или сфера в 3D радиуса (S/2).

Координатная запись (стандартная ситуация)

Положим (A(-c,0)), (B(c,0)) в плоскости. Условие
[
\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a,
]
где (2a=S). При (a>c) после приведения получаем стандартное уравнение эллипса
[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad b^2=a^2-c^2.
]В трёхмерном пространстве положим (A(-c,0,0)), (B(c,0,0)). Множество точек с той же суммой расстояний (2a) даёт эллипсоид вращения (пролатный сфероид) с уравнением
[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2+z^2}{b^2}=1,\qquad b^2=a^2-c^2.
]

Сечения и их свойства

Сечение плоскостью, проходящей через ось (x) (оси фокусов), даёт эллипс с теми же полуосями (a) и (b).Сечение плоскостью, перпендикулярной оси фокусов (плоскость (x=x_0)), даёт окружность радиуса
[
r(x_0)=b\sqrt{1-\frac{x_0^2}{a^2}}.
]Любое сечение плоскостью, проходящей через ось фокусов, — эллипс; произвольное наклонное сечение — также эллипс (если пересечение непусто).При (c\to 0) оба аналога сходятся в круг/сферу радиуса (a). При (a\downarrow c) полуось (b\to 0) и поверхность вырождается в отрезок (AB).

Симметрии и оптическое свойство

Эллипс в плоскости имеет две оси симметрии: главную (оси, соединяющую фокусы) и поперечную; отражения относительно них сохраняют фигуру.Эллипсоид вращения в 3D симметричен относительно вращений вокруг оси, проходящей через фокусы (группа симметрий O(2) вокруг этой оси), и относительно плоскостей, содержащих эту ось и плоскости симметрии, перпендикулярной экваториальной плоскости.Оптическое (фокальное) свойство: любой луч, исходящий из одного фокуса, после отражения от границы эллипса/эллипсоида направляется в другой фокус (аналогично в 3D для внутренней отражающей поверхности эллипсоида).

Краткие выводы

В плоскости: геометрическое место — эллипс при (S>d), отрезок при (S=d), пусто при (S<d).В 3D: аналог — эллипсоид вращения (пролатный сфероид) при (S>d); те же вырождения при граничных значениях; сечения через ось — эллипсы, поперечные сечения — окружности; симметрия — вращательная вокруг оси фокусов.