На плоскости задан произвольный выпуклый n‑угольник; какие неприводимые композиции поворотов, параллельных переносов и гомотетий переводят этот n‑угольник в подобный ему так, что каждая вершина переходит в следующую по циклу, и как это связано с его групповыми симметриями?
Короткий ответ: нет не‑тождественных «неприводимых» композиций, кроме вращений, и они существуют лишь для регулярного (n)-угольника. Подробности и объяснение:
1) Общая форма ориентирующейся подобия (поворот + гомотетия + параллельный перенос) в комплексной записи: [ S(z)=\rho e^{i\phi}(z-z_0)+z_0,\quad \rho>0,\; \phi\in\mathbb R. ]
2) Если (S) переводит вершины (V_k) в следующие по циклу ((S(Vk)=V{k+1}) для всех (k), индексы по модулю (n)), то после (n) применений [ S^n(V_k)=V_k\quad\forall k. ] Поскольку три вершины невырождены, это значит (S^n=\mathrm{id}). Тогда из вида (S^n) следует [ \rho^n=1,\qquad n\phi\equiv 0\pmod{2\pi}. ] Так как (\rho>0), получаем (\rho=1). Значит (S) — изометрия, конкретно вращение вокруг некоторого центра (O) на угол [ \phi=\tfrac{2\pi m}{n},\quad m\in\mathbb Z. ]
3) Чтобы это отображение было «неприводимым» в смысле циклической длины (n) (т. е. чтобы образ каждой вершины проходил через все (n) вершин, а не разбивался на несколько циклов), нужно [ \gcd(m,n)=1. ] Для отображения «в следующую» соседнюю вершину требуется (m\equiv 1\pmod n) (или (m\equiv -1) при обратном направлении).
4) Следствие о типе многоугольника: вращение такого вида сохраняет расстояние до центра (O), значит все вершины лежат на окружности с центром (O) и центральные углы равны — то есть многоугольник должен быть правильным. Для общего (неправильного) выпуклого (n)-угольника ненулевых подобных циклических отображений не существует.
5) Связь с группами симметрий: набор всех подобных отображений, переводящих многоугольник в себя (автоморфизмов подобия), для правильного (n)-угольника даёт цикличесную подгруппу вращений порядка (n) (обозначение (C_n)); если учитывать отражения, полная группа евклидовых симметрий — диэдральная (D_n). Для нерегулярного (n)-угольника эта группа тривиальна (только тождественное отображение), поэтому нет ненулевых циклических сдвигов вершин.
Итого: единственные неприводимые композиции — вращения вокруг центра правильного (n)-угольника на углы (\phi=2\pi m/n) с (\gcd(m,n)=1); они образуют цикличесную подгруппу симметрий.
Короткий ответ: нет не‑тождественных «неприводимых» композиций, кроме вращений, и они существуют лишь для регулярного (n)-угольника. Подробности и объяснение:
1) Общая форма ориентирующейся подобия (поворот + гомотетия + параллельный перенос) в комплексной записи:
[
S(z)=\rho e^{i\phi}(z-z_0)+z_0,\quad \rho>0,\; \phi\in\mathbb R.
]
2) Если (S) переводит вершины (V_k) в следующие по циклу ((S(Vk)=V{k+1}) для всех (k), индексы по модулю (n)), то после (n) применений
[
S^n(V_k)=V_k\quad\forall k.
]
Поскольку три вершины невырождены, это значит (S^n=\mathrm{id}). Тогда из вида (S^n) следует
[
\rho^n=1,\qquad n\phi\equiv 0\pmod{2\pi}.
]
Так как (\rho>0), получаем (\rho=1). Значит (S) — изометрия, конкретно вращение вокруг некоторого центра (O) на угол
[
\phi=\tfrac{2\pi m}{n},\quad m\in\mathbb Z.
]
3) Чтобы это отображение было «неприводимым» в смысле циклической длины (n) (т. е. чтобы образ каждой вершины проходил через все (n) вершин, а не разбивался на несколько циклов), нужно
[
\gcd(m,n)=1.
]
Для отображения «в следующую» соседнюю вершину требуется (m\equiv 1\pmod n) (или (m\equiv -1) при обратном направлении).
4) Следствие о типе многоугольника: вращение такого вида сохраняет расстояние до центра (O), значит все вершины лежат на окружности с центром (O) и центральные углы равны — то есть многоугольник должен быть правильным. Для общего (неправильного) выпуклого (n)-угольника ненулевых подобных циклических отображений не существует.
5) Связь с группами симметрий: набор всех подобных отображений, переводящих многоугольник в себя (автоморфизмов подобия), для правильного (n)-угольника даёт цикличесную подгруппу вращений порядка (n) (обозначение (C_n)); если учитывать отражения, полная группа евклидовых симметрий — диэдральная (D_n). Для нерегулярного (n)-угольника эта группа тривиальна (только тождественное отображение), поэтому нет ненулевых циклических сдвигов вершин.
Итого: единственные неприводимые композиции — вращения вокруг центра правильного (n)-угольника на углы (\phi=2\pi m/n) с (\gcd(m,n)=1); они образуют цикличесную подгруппу симметрий.