Кратко: обозначим треугольник (ABC) так, что из вершины (A) идут медиана (AM) длины (m) на середину (M) стороны (BC), высота (AH) длины (h) на (BC) и биссектриса (AL) длины (l) (точки (M,L,H) лежат на стороне (BC)). Ниже — необходимые и достаточные условия существования, число решений и конструкция с обоснованием.

1) Начальные необходимые условия

Чтобы точки с заданными расстояниями существовали, необходимо
[
m\ge h,\qquad l\ge h .
]
(иначе круг радиуса (m) с центром в середине не пересекает линию на расстоянии (h) или окружность радиуса (l) с центром (A) не пересекает прямую (BC).)

2) Координатная модель (обоснование формул)

Положим прямую (BC) за ось (x) и выберем начало в (M). Обозначим (u=\tfrac a2) (половина основания), (s=x_A) — абсциссу точки (A). Тогда
[
s^2+h^2=m^2,\qquad s=\pm\sqrt{m^2-h^2}.
]Точка (L) лежит на (BC) и удовлетворяет
[
|t-s|=\sqrt{l^2-h^2},\qquad t=x_L=s\pm d,\quad d=\sqrt{l^2-h^2},
]
то есть есть две возможности знака в выборе (t).Условие биссектрисы (пропорция отрезков (BL:LC=AB:AC)) приводит при алгебраических преобразованиях к простому выражению для (u^2):
[
u^2=\frac{t\,m^2-s\,t^2}{\,s-t\,}\qquad\text{(при }s\ne t\text{)}.
]
(Доказательство: разложив разности квадратов и сократив общий множитель, см. выкладку в тексте выше.)

3) Условия существования и проверки

Вычислите конструктивно (s=\sqrt{m^2-h^2}) и (d=\sqrt{l^2-h^2}); затем рассмотрите оба варианта (t=s\pm d).Для каждого варианта (t) вычислите по формуле (u^2). Решение существует тогда и только тогда, когда полученное (u^2>0) и дополнительно
[
u>|t|
]
(тогда (L) действительно лежит между (B) и (C)). Если при каком‑либо варианте эти не выполняются — тот вариант отбрасывается.Если (s=t) (т.е. (d=0) и (t=s)), формула даёт видоизбежимое деление на ноль; этот случай соответствует (l=h). Его надо рассматривать отдельно: тогда (L) совпадает с проекцией (H) и условие биссектрисы даёт линейное уравнение для (u^2) (выпадающее из исходного вывода) — в практике проверяют геометрически возможность расположения (B,C) (обычно либо единственное решение симметрично, либо отсутствует).

4) Число решений (единственность)

Для каждого выбора знака для (s) (левая/правая позиция точки (A) относительно (M)) и для каждого выбора знака в (t=s\pm d) может получиться решение; однако симметрии по медиане и зеркальные отображения дают совпадения по конгруэнтности. В итоге:
максимально может быть два неконгруэнтных решения (обычно соответствуют двум вариантам знака в (t));при вырожденных значениях дискриминанта — единственное решение;если ни один вариант не даёт подходящего положительного (u^2) с (u>|t|) — решения нет.

5) Конструктивная процедура (шаги «циркуль+линейка»)
(всё делается на произвольной плоскости; выбранная прямая будет служить за (BC).)

Проведите прямую (r) (будет (BC)). На ней отметьте точку (M) (будущая середина (BC)).Постройте прямую (r'), параллельную (r), на расстоянии (h). (Строится опусканием перпендикуляра и отложением (h).)Постройте окружность с центром (M) радиуса (m). Её пересечения с (r') дают две возможные позиции точки (A) (симметричные).Для каждой такой (A): постройте окружность центра (A) радиуса (l). Она пересекает (r) в точках (L) (возможно 0,1 или 2). (Если нет пересечения — этот (A) отбрасываем.)Для каждой пары ((A,L)): построите отрезы и найдите значения
[
s=\text{абсцисса }A=\sqrt{m^2-h^2}\quad(\text{естественно получается в построении}),
\qquad t=\text{абсцисса }L=s\pm\sqrt{l^2-h^2}.
]
(Все квадраты и квадратные корни собираются геометрически: суммы/разности отрезков и извлечение корня через теорему Пифагора.)По формуле
[
u^2=\frac{t\,m^2-s\,t^2}{s-t}
]
постройте отрезок длины (u=\sqrt{u^2}) (если (u^2\le0) или (u\le|t|), отбрасываем вариант). Построение корня выполняется стандартно (построить отрезок соответствующей длины, затем через подобие треугольников вынести (\sqrt{\cdot})).На прямой (r) от точки (M) отложите в обе стороны отрезы длины (u); получатся точки (C) и (B). Соедините (A) с (B) и (C). Это искомый треугольник.Повторите для других допустимых вариантов знаков — получите все геометрически возможные решения.

6) Обоснование корректности

Модель с координатами показывает, что из заданных (m,h,l) координаты (s,t) вычисляются однозначно (с учётом знаков) и что параметр (u) определяется формулой выше; все вычисления сводятся к сложению/вычитанию/умножению/делению и извлечению квадратного корня — операции, выполняемые циркулем и линейкой (через подобие и построение прямоугольных треугольников). Алгебраическая редукция гарантирует, что полученный (B,C) дают требуемые (AM=m), (AH=h), (AL=l).Количество решений ограничено степенью получаемого уравнения (квадратичного в (u^2)), поэтому максимум два геометрически ненайдемых варианта.

Заключение (кратко)

Необходимые базовые условия: (m\ge h), (l\ge h).Вся конструкция сводится к вычислению (s=\sqrt{m^2-h^2}), (d=\sqrt{l^2-h^2}), выбора (t=s\pm d) и построению
[
u=\sqrt{\frac{t\,m^2-s\,t^2}{s-t}},
]
при условии (u> |t|). Число допустимых (неконгруэнтных) треугольников: 0, 1 или 2 в зависимости от удовлетворения указанных неравенств; конструкция при существовании даёт все решения.

Если нужно, могу привести детальную поэтапную чертёжную инструкцию (пас‑за‑шагом с построением соответствующих окружностей и отрезков) или вывести аккуратно алгебраические преобразования, ведущие к формуле для (u^2).