Кратко и по существу: дам набор критериев для вписанности (cyclic) и для внемкруглости / описываемости окружностью (tangential), докажу эквивалентности ключевых формулировок и укажу достоинства/недостатки каждого подхода.

Обозначения: выпуклый четырёхугольник (ABCD). Стороны: (a=BC,\; b=CD,\; c=DA,\; d=AB). Углы в вершинах (A,B,C,D).

Критерии вписанности (cyclic)

1.1. Угловой (геометрический)

Критерий: (ABCD) вписан тогда и только тогда, когда
[
\angle A+\angle C=\pi \quad(\text{и тогда } \angle B+\angle D=\pi).
]Доказательство: если точки лежат на одной окружности, то противоположные углы опираются на дополняющие дуги. Обратно, если (\angle A+\angle C=\pi), то вершина (C) лежит на окружности, проходящей через (A,B) и точку, симметричную (B) относительно хорды (AD) — стандартный угол-дуга аргумент даёт вписанность.

Плюс: очень простой и наглядный. Минус: требует знания углов.

1.2. Теорема Птолемея (длиновой критерий)

Критерий: (ABCD) вписан тогда и только тогда, когда
[
AC\cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot AD,
]
т.е.
[
AC\cdot BD = d\cdot b + a\cdot c.
]Доказательство (коротко): для вписанного четырёхугольника через соотношения подобных треугольников (разделив диагонали) получаем указанное равенство. Обратное: если равенство Птолемея выполнено, несложно показать, что точка (D) имеет нулевую разность мощностей относительно окружности через (A,B,C), значит (D) на той же окружности (стандартный обратный ход Птолемея).

Плюс: проверка по длинам; пригодна для задач с числовыми данными. Минус: нужна точная работа с длинами (чувствительна к погрешностям).

1.3. Координатная / алгебраическая

Критерий через уравнение окружности: точки (A(x_i,y_i)), (i=1..4), лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда определитель равен нулю:
[
\det
\begin{pmatrix}
x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\
x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\
x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1\
x_4^2+y_4^2 & x_4 & y_4 & 1
\end{pmatrix}
=0.
]Обоснование: общее уравнение окружности (x^2+y^2+ux+vy+w=0) даёт линейную систему по ((u,v,w)); ненулевой совместный корень существует тогда и только тогда, когда указанный детерминант равен нулю.

Плюс: удобно для вычислений в координатах, годится для программной проверки. Минус: громоздко вручную, численные ошибки при округлении.

1.4. Комплексный / попр. отношения (cross-ratio)

Критерий: при отождествлении плоскости с комплексной осью (z) точки (z_1,z_2,z_3,z_4) лежат на одной окружности или прямой тогда и только тогда, когда крестное отношение реально:
[
\frac{(z_1-z_2)(z_3-z_4)}{(z_1-z_4)(z_3-z_2)}\in\mathbb{R}.
]Обоснование: преобразование Мёбиуса переводит окружности/прямые в себя и переводит условие согласием (реальность) крестного отношения в условие коллинеарности/концикличности.

Плюс: сильный алгебраический инструмент, удобен в теории преобразований. Минус: требует знания комплексного аппарата.

Сопоставление для вписанности: угловой критерий — самый наглядный; Птолемей — эффективен для вычислений по длинам; детерминант/комплекс — удобны для алгебраизации и программирования.

Критерии описываемости окружностью (внемкруглости, tangential)

2.1. Теорема Питота (длиновой критерий)

Критерий: выпуклый (ABCD) имеет вписанную в него окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны:
[
AB + CD = BC + AD,
]
т.е.
[
d + b = a + c.
]Доказательство: если окружность существует, то длины касательных от одной вершины до соседних точек касания равны; обозначив касательные длины от вершин (x,y,z,t) по циклу, получаем
[
d=x+t,\; a=y+x,\; b=z+y,\; c=t+z,
]
откуда (d+b=(x+t)+(z+y)=a+c). Обратное: если выполняется равенство, то можно подобрать положительные (x,y,z,t) как решения системы и построить четырёхугольник с заданными касательными (либо показать, что биссектрисы пар противоположных углов пересекаются в единственной точке, расстояние от которой до всех сторон равно некоторому (r>0)), поэтому существует окружность, касающаяся всех четырёх сторон (стандартная конструкция через касательные длины).

Плюс: простой числовой тест. Минус: проверяет только по длинам сторон, не даёт положения центра.

2.2. Биссекторный критерий (угловой/векторный)

Критерий: (ABCD) имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда внутренние биссектрисы углов (A,B,C,D) пересекаются в одной точке (I) (центр вписанной окружности).Обоснование: наличие общего центра очевидна; обратно, если биссектрисы пересекаются в одной точке, расстояния от этой точки до всех сторон равны (\Rightarrow) окружность с этим радиусом касается всех сторон.

В векторной форме: для векторных направлений сторон (u_i) центр (I) удовлетворяет системе
[
|(P_i-I)\times u_i|=r\quad (i=1..4),
]
где (P_i) — произвольные точки на сторонах, (u_i) — единичные направления; вычитая пары уравнений, можно получить линейную систему на (I).

Плюс: даёт позицию центра; подходит для построения. Минус: требует работы с угловыми биссектрисами.

2.3. Тригонометрический критерий (через полууглы)

В любой внемкруглой фигуре при радиусе (r) и углах (A,B,C,D) имеют место формулы
[
AB = r\bigl(\cot\tfrac{A}{2}+\cot\tfrac{B}{2}\bigr),\quad
BC = r\bigl(\cot\tfrac{B}{2}+\cot\tfrac{C}{2}\bigr),
]
итого условие Питота эквивалентно
[
\cot\tfrac{A}{2}+\cot\tfrac{C}{2}=\cot\tfrac{B}{2}+\cot\tfrac{D}{2}.
]Доказательство: длина касательной от вершины равна (r\cot(\tfrac{\text{угол}}{2})) (стандартное соотношение в треугольнике с инцентром), складывая даём указанные формулы; затем эквивалентность с Питотом очевидна.

Плюс: полезно при работе с углами и радиусом; Минус: требует работы с тригонометрией полууглов.

2.4. Координатный / аналитический критерий

Критерий: для каждой стороны, заданной прямой в нормальной форме (a_i x + b_i y + c_i = 0) существует точка ((u,v)) и число (r>0) такие, что
[
|a_i u + b_i v + c_i| = r\sqrt{a_i^2+b_i^2},\quad i=1..4.
]
Эквивалентно системе уравнений (при известной ориентации знаков) — проверка существования решения ((u,v,r)).Плюс: позволяет численно найти центр; Минус: система с абсолютными величинами, требует учёта знаков (или решается как четыре линейных уравнения после фиксации знаков).

Сопоставление методов (достоинства/недостатки)

Геометрические (углы, биссектрисы): быстрые на бумаге, наглядны, хорошо для доказательств и построек; плохо подходят для численных проверок при координатных данных.Длиновые (Птолемей, Питот): удобны если известны длины; просты для численных задач; не дают координат центра.Координатные/алгебраические (детерминант, система для центра): подходят для вычислительных проверок и программ; громоздки вручную, чувствительны к округлению.Тригонометрические: удобны при наличии углов или при поиске радиуса; дают дополнительные связи (например, выражение сторон через (r) и полууглы).Комплекс/кросс-отношение: мощный универсальный алгебраический инструмент, особенно при применении преобразований; требует подготовки.

Заключение (рекомендации)

Если известны углы — используйте угловой критерий (вписанность) или биссектрисы (описуемость).Если известны длины — используйте Птолемея для вписанности и Питота для описываемости.Если заданы координаты — используйте детерминант (вписанность) и систему расстояний до прямых (описуемость).Для теоретических выкладок и преобразований удобно использовать комплексный/кросс-отношение и тригонометрию полууглов.

Если нужно, могу развернуть любой из пунктов с подробным пошаговым доказательством выбранного критерия.