Краткая хронология и ключевые изменения (с пояснениями).

Евклид (Около IV–III вв. до н.э.). Параллельность вводится интуитивно в Пятый постулат: «если прямая, падающая на две прямые, делает внутренние углы по одной стороне в сумме меньше двух прямых, то эти прямые при неограниченном продолжении с той стороны пересекутся» (формулировка сложна и конструктивна). Параллельный перенос не формализован как операция — используется евклидова интуиция о «параллельном построении» на чертеже.

XVIII–XIX вв. (Саккери, Ламберт, попытки доказать V). Рост сомнений в однозначности пятого постулата привёл к систематическому анализу: выделение «нейтральной» (абсолютной) геометрии — всех утверждений, вытекающих без пятого постулата. Появились модели, показывающие, что отказ от V не даёт противоречия: рождение неевклидовой геометрии.

Плейфер (эквивалентные формулировки). Стандартная современная формулировка параллельного постулата — аксиома Плейфера: «Через точку (P), не лежащую на прямой (l), проходит не более одной прямой, параллельной (l)»:
[
\text{если }P\notin l,\ \exists!\ m:\ m\parallel l,\ P\in m.
]
При прочих евклидовых аксиомах эта формулировка эквивалентна пятому Евклида.

Болyai, Лобачевский, Риман (развитие неевклидовых систем). Показывают альтернативные варианты: в гиперболической геометрии через (P) проходит более одной линии, не пересекающей (l); в эллиптической непрерывно нет параллелей. Это сменило представление: параллельность — не «самоочевидная» истина, а свойство, зависящее от аксиом и модели.

Аксиоматизация XX в. (Гильберт, Тарский, Биркгоф). Появились строго формальные аксиоматические системы, где параллельность либо вводится как аксиома (вариант Плейфера), либо определяется через отношение пересечения:
[
l_1\parallel l_2\ \iff\ l_1\cap l_2=\varnothing\ (\text{или } l_1=l_2).
]
Тарский дал первое полное первое‑порядковое аксиоматическое описание планиметрии; Биркхофф использовал метрические постулаты (длины, углы) и включал аксиому единственности параллели в качестве постулата.

Аффинная и линейная формализации. В аффинной геометрии параллельность становится первичной (аксиоматически задаётся как отношение равномерного направления); преобразования параллельного переноса (трансляции) формализуются как отображения
[
T_v(x)=x+v,
]
где вектор (v) — элемент аффинного (или векторного) пространства. Появляется четкое разделение: евклидова геометрия = аффинная + метрика.

Эрлангенская программа Клейна (групповая точка зрения). Геометрия определяется через группу преобразований: параллельный перенос — элемент группы аффинных или евклидовых исометрий; параллельность — инвариант относительно этой группы. Это смещает акцент с «построений» к свойствам, инвариантным относительно групп.

Параллельный перенос в дифференциальной геометрии. Леви‑Чивита (1917) дал конструкцию параллельного переноса в римановой метрике как решение уравнения
[
\nabla_{\dot\gamma}V=0
]
по направлению вдоль кривой (\gamma). Здесь «параллельность» в локальном смысле зависит от кривизны: перенос некоммутативен (маршрут‑зависимость), и понятие глобальной параллельной прямой теряет смысл на искривлённых поверхностях.

Как это отразилось на преподавании геометрии

Сдвиг от чисто синтетического (Эвклид) к смешанному: в школьной геометрии важную роль заняли координатный и векторный подходы (аналитическая геометрия, линейная алгебра). Это упростило формализацию параллельного переноса как (x\mapsto x+v) и доказательство свойств параллельных линий через векторы и уравнения прямых.

Усиление акцента на трансформациях и инвариантах: в курсах введены понятия симметрии, параллельного переноса как изометрии/аффинного преобразования, что связало школьную геометрию с алгеброй и анализом.

В старших курсах/университете — обязательное знакомство с аксиоматикой (Гильберт, Тарский) и с неевклидовыми геометриями; это формирует понимание роли аксиом и относительности параллельности.

В продвинутых курсах по геометрии и физике — теория связности и параллельного переноса (Леви‑Чивита), где параллельность — локальная понятие, зависящее от кривизны; преподается в дифференциальной геометрии и математической физике.

Краткий вывод

Параллельность эволюционировала от интуитивного, конструктивного свойства в Евклиде к аксиоматизированному и группо‑/векторно‑ориентированному понятию. Параллельный перенос превратился из чертёжной операции в формальную операцию в аффинной/евклидовой теории и затем в локальную операцию в дифференциальной геометрии. Это привело к смене методик преподавания: больше аналитики, аксиоматики и теории преобразований, меньше чисто «евклидовой» интуиции.