Ответ: геометрическое место — две прямые, проходящие через точку пересечения (O) прямых (l_1) и (l_2) (в частном случае (k=1) — биссектрисы углов). Доказательства ниже.

Координатное доказательство (коротко).

Положим (O) началом координат, возьмём (l_1) как ось (Ox), пусть угол между (l_1) и (l_2) равен (\alpha). В полярных координатах точка (P) имеет вид ((\rho,\theta)). Перпендикулярные расстояния до прямых равны
[
d_1=\rho|\sin\theta|,\qquad d_2=\rho|\sin(\theta-\alpha)|.
]Условие (\dfrac{d_1}{d_2}=k) даёт
[
|\sin\theta|=k\,|\sin(\theta-\alpha)|.
]
Это уравнение зависит только от угла (\theta), а не от радиуса (\rho). Следовательно, решения задают фиксированные направления из (O): каждая подходящая (\theta) соответствует прямой через (O). Уравнение для тангенса наклона (m=\tan\theta) можно переписать (без модулей, при учёте знаков) как
[
\frac{|m|}{|-\sin\alpha+m\cos\alpha|}=k,
]
или в квадрате
[
m^2=k^2(-\sin\alpha+m\cos\alpha)^2,
]
что даёт квадратичное уравнение для (m) и потому (обычно) два значения (m) — две прямые через (O). Для (k=1) это даёт (\sin\theta=\pm\sin(\theta-\alpha)), т.е. (\theta) — направления биссектрис.

Синтетическое доказательство (коротко).

Возьмём произвольную прямую через (O) и точку (P) на ней; пусть углы между (OP) и (l_1,l_2) равны соответственно (\phi) и (\psi). Так как (l_1,l_2) проходят через (O), то (\phi+\psi=\alpha). Перпендикулярные расстояния равны (d_1=OP\sin\phi) и (d_2=OP\sin\psi). Условие (d_1/d_2=k) даёт
[
\sin\phi=k\sin\psi,\qquad \phi+\psi=\alpha.
]Эта система определяет (в общем случае) два набора углов ((\phi,\psi)) (учитывая знаки синусов) и, соответственно, два направления лучей (OP). Значит, все точки, удовлетворяющие условию, лежат на двух прямых через (O). В частном случае (k=1) получаем (\sin\phi=\sin\psi) и потому (\phi=\psi) или (\phi=\alpha-\psi), что даёт биссектрисы.

Краткое обсуждение различий подходов.

Координатный метод даёт явные алгебраические уравнения для углов/наклонов (вплоть до формулы корней квадратичного уравнения), удобен для вычислений и для анализа вырожденных случаев (кратные корни, численные значения). Минус — больше алгебры, меньше наглядности.Синтетический (тригонометрический) аргумент короче и геометрически прозрачнее: видно, что отношение расстояний зависит только от углов между лучом (OP) и данными прямыми, значит решения — фиксированные направления. Однако синтетический подход даёт меньше явных формул и хуже подходит для вычисления конкретных наклонов без дополнительных преобразований.

Примечание: обычно получается две различные прямые; возможен вырожденный (кратный) корень при частном соотношении параметров, и при (k=1) эти прямые — биссектрисы.