Коротко и по существу; все выкладки — в векторной форме. Обозначим векторные координаты вершин (A,B,C,D) через (\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c,\mathbf d). Середины рёбер обозначим естественно, например
[
M{AB}=\frac{\mathbf a+\mathbf b}{2},\quad M{CD}=\frac{\mathbf c+\mathbf d}{2},\ \text{и т.\,д.}
]

1) Параллелограмм из четырёх серед — общий факт.

Возьмём середины рёбер (M{AB},M{AC},M{CD},M{BD}). Тогда
[
\overrightarrow{M{AC}M{AB}}=\frac{\mathbf c-\mathbf b}{2},\qquad
\overrightarrow{M{BD}M{CD}}=\frac{\mathbf b-\mathbf c}{2}=-\overrightarrow{M{AC}M{AB}}.
]
Аналогично в другой паре сторон. Следовательно четырёхугольник (M{AB}M{AC}M{CD}M{BD}) — параллелограмм.

Из равенств выше сразу следует зависимость длин: стороны параллелограмма равны половинам соответствующих противоположных рёбер тетраэдра. Т. е.
[
|M{AB}M{AC}|=\frac12\,|BC|,\qquad |M{AC}M{CD}|=\frac12\,|AD|,
]
и т.\,п. (в каждом случае вектор стороны параллелограмма равен половине вектора соответствующего противоположного ребра исходного тетраэдра).

2) Три «срединных» отрезка между противоположными серединами пересекаются в одной точке и делятся пополам.

Рассмотрим отрезки (M{AB}M{CD},\ M{AC}M{BD},\ M{AD}M{BC}). Средина первого отрезка равна
[
\frac{M{AB}+M{CD}}{2}=\frac{\frac{\mathbf a+\mathbf b}{2}+\frac{\mathbf c+\mathbf d}{2}}{2}=\frac{\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c+\mathbf d}{4}=:\mathbf G,
]
и аналогично для двух других. Значит все три отрезка пересекаются в точке (\mathbf G) и делятся ею пополам. Точка (\mathbf G) — центр симметрии системы шести середин.

Длины этих «срединных» отрезков выражаются через векторы вершин:
[
\overrightarrow{M{AB}M{CD}}=\frac{\mathbf a+\mathbf b-\mathbf c-\mathbf d}{2},\quad
|M{AB}M{CD}|=\frac12\big|\mathbf a+\mathbf b-\mathbf c-\mathbf d\big|.
]

3) Представление шести середин и связь с параллелепипедом.

Введём векторы
[
\mathbf u=\frac{\mathbf a+\mathbf b-\mathbf c-\mathbf d}{4},\quad
\mathbf v=\frac{\mathbf a+\mathbf c-\mathbf b-\mathbf d}{4},\quad
\mathbf w=\frac{\mathbf a+\mathbf d-\mathbf b-\mathbf c}{4}.
]
Тогда центр (\mathbf G=\dfrac{\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c+\mathbf d}{4}) и шесть середин записываются как
[
M{AB}=\mathbf G+\mathbf u,\ M{CD}=\mathbf G-\mathbf u;\qquad
M{AC}=\mathbf G+\mathbf v,\ M{BD}=\mathbf G-\mathbf v;
]
[
M{AD}=\mathbf G+\mathbf w,\ M{BC}=\mathbf G-\mathbf w.
]
Иными словами, шесть середин — это три противоположные пары точек относительно центра (\mathbf G).

Следствие: шесть середин находятся в отношениях, аналогичных трём «осевым» векторам (\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w). Полные отрезки между противоположными серединами равны
[
M{AB}M{CD}=2\mathbf u,\quad M{AC}M{BD}=2\mathbf v,\quad M{AD}M{BC}=2\mathbf w.
]

4) Когда получается параллелепипед?

Прямой смысл «все шесть середин образуют параллелепипед» (т.е. они являются всеми вершинами невырожденного параллелепипеда с 8 вершинами) невозможен: параллелепипед имеет 8 различных вершин, а у нас только 6 точек. Поэтому шестью серединами нельзя получить вершины полного (невырожденного) параллелепипеда. Можно всегда построить параллелепипед, центр которого совпадает с (\mathbf G) и чьи осевые векторы равны (\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w); его вершины — (\mathbf G\pm\mathbf u\pm\mathbf v\pm\mathbf w). Шесть наших точек совпадают с шести из восьми вершин этого параллелепипеда (ровно с теми, где только один из знаков «(\pm)» отличен от нуля). Для того чтобы при этом все восемь вершин параллелепипеда совпали с некоторыми серединами рёбер тетраэдра, потребовалось бы дополнительные равенства между (\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w), которые приводят к вырождению тетраэдра (совпадению вершин) — значит нет нетривиальной (невырожденной) тетраэдральной конфигурации, при которой шесть середин образуют полный набор восьми вершин параллелепипеда.

Таким образом:

Любые четыре середины, лежащие на цикле двух противоположных пар рёбер, образуют параллелограмм; его стороны равны половинам соответствующих противоположных рёбер исходного тетраэдра (и параллельны им).Три отрезка, соединяющие середины противоположных рёбер, пересекаются в центре (\mathbf G=\dfrac{\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c+\mathbf d}{4}) и делятся им пополам; длины этих отрезков даются формулой (|M{AB}M{CD}|=\tfrac12\big|\mathbf a+\mathbf b-\mathbf c-\mathbf d\big|) и т.\,д.Шесть середин располагаются симметрично относительно (\mathbf G) как (\mathbf G\pm\mathbf u,\ \mathbf G\pm\mathbf v,\ \mathbf G\pm\mathbf w), и поэтому являются шестью (но не всеми восьмью) вершинами параллелепипеда с осевыми векторами (\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w). Чтобы получить полный параллелепипед из середин (все 8 вершин), тетраэдр должен вырождаться (т.\,е. выполнять дополнительные выравнивающие тождества), что тривиально и неинтересно геометрически.

Если нужно, могу расписать отдельными шагами формулы для квадратов длин (разложение через длины рёбер тетраэдра) для отрезков (M{AB}M{CD}) и т.\,д.