Обозначим $a=AB,b=BC,c=CD,d=DA$. Даны
$$AB\perp CD⟹a^2+c^2=b^2+d^2$$ (классическое равенство для ортодиагонального четырёхугольника) и
$$AB+CD=BC+DA⟹a+c=b+d.$$
1) Вывод о длинах сторон (классификация по сторонам).
Вычтем из равенства квадратов: $(a^2+c^2)-(b^2+d^2)=0$. Подставив $b=a-p,d=c+p$ (так как $a+c=b+d$ даёт $p=a-b=-(c-d)$), получим
$$0=-2ap+2cp+2p^2=2p(p+c-a).$$ Отсюда либо $p=0$, либо $p=a-c$. То есть либо
$$a=b,c=d,$$ либо
$$b=c,d=a.$$ Значит любой выпуклый четырёхугольник с заданными условиями обязательно является воздушным «воздушным» (kite): две пары смежных равных сторон. (Специальный случай обеих систем одновременно — $a=b=c=d$ — равносторонний параллелограмм, т.е. ромб.)
2) Дополнительные геометрические свойства.
- Из равенства сумм противоположных сторон следует, что квад­ратный выпуклый четырёхугольник циркумскрибируем (имеет вписанную окружность) по теореме Питота (обратное тоже верно): данное условие эквивалентно существованию вписанной окружности. То есть наш четырёхугольник одновременно ортодиагонален и тангенциальен (вписанная окружность).
- Для получившегося «кайта» одна диагональ является осью симметрии; при ортогональности диагоналей центр вписанной окружности совпадает с точкой их пересечения (радиус $r$ равен расстоянию от этой точки до сторон).
3) Когда четырёхугольник параллелограмм?
Параллелограммом (т.е. $a=c,b=d$) он может быть только в случае $a=b=c=d$ (из $a+c=b+d$ при $a=c,b=d$ следует $2a=2b\Rightarrow a=b$). То есть из данных условий параллелограммом он обязателен только если это ромб. В этом ромбе диагонали всегда перпендикулярны, а условие сумм сторон выполнено тривиально.
4) Когда он вписан (цикличен)?
В общем случае kite с данными свойствами не обязателен быть вписанным (пример: ненулевое отношение соседних сторон). Совмещение условий «вписан» + «диагонали перпендикулярны» + «AB+CD=BC+DA» приводит к тому, что все стороны равны, т.е. к квадрату. Иными словами, среди четырёхугольников с заданными свойствами цикличность возможна лишь в вырожденном (симметричном) случае — квадрат. (Следствие: если он одновременно вписан и параллелограммен — это прямоугольник; пересечение с требованием перпендикулярности диагоналей даёт тогда квадрат.)
5) Итого — полная классификация.
Все выпуклые четырёхугольники с диагоналями, перпендикулярными, и с $AB+CD=BC+DA$ — это ровно тангенциальные ортодиагональные кайты, т.е. две взаимно возможные конфигурации
$$AB=BC,CD=DA\text{или}BC=CD,DA=AB,$$ включая частный случай $AB=BC=CD=DA$ (ромб). Параллелограммом он обязателен лишь в случае ромба; вписанным — лишь в случае квадрата.