Кратко и по существу.
1) Существование и единственность вписанной сферы в тетраэдре.
Пусть плоскости граней заданы уравнениями $n_i\cdot x+d_i=0$ (внешние нормали $n_i$, $i=1,\dots ,4$). Центр сферы $I\in {\mathbb{R}}^3$ и радиус $r$ должны удовлетворять равенствам расстояний до плоскостей
$$\frac{n_i\cdot I+d_i}{\Vert n_i\Vert }=r,i=1,\dots ,4.$$ Это система из четырёх линейных уравнений по четырём неизвестным (координаты $I$ и $r$). Для тетраэдра матрица этой системы невырожденна (нормали граней линейно «общемерны»), значит система имеет единственное решение. Следовательно, если решение даёт $r>0$ и $I$ лежит внутри тетраэдра, то вписанная сфера существует и единственна. (Альтернативный и более геометрический аргумент: разложение объёма на четыре пирамиды с общим вершиной в центре сферы даёт формулу для $r$ и показывает единственность — см. ниже.)
2) Формула, связывающая радиус с объёмом и площадью граней.
Пусть $V$ — объём тетраэдра, $S$ — суммарная площадь четырёх граней. Так как каждая грань образует пирамиду высоты $r$, имеем
$$V=\sum _{i=1}^4\frac{1}{3}{S}_{i}r=\frac{1}{3}Sr,$$ откуда
$$r=\frac{3V}{S}.$$ Это даёт явную связь радиуса вписанной сферы с геометрическими характеристиками тетраэдра.
3) Выражение через длины рёбер.
Объём можно выразить через длины рёбер через определитель Кэли—Менгера:
V2=1288det⁡(0111110d122d132d1421d1220d232d2421d132d2320d3421d142d242d3420), V^2=\frac{1}{288}\det\begin{pmatrix}
0&1&1&1&1\\
1&0&d_{12}^2&d_{13}^2&d_{14}^2\\
1&d_{12}^2&0&d_{23}^2&d_{24}^2\\
1&d_{13}^2&d_{23}^2&0&d_{34}^2\\
1&d_{14}^2&d_{24}^2&d_{34}^2&0
\end{pmatrix},
V2=2881 det 01111 10d122 d132 d142 1d122 0d232 d242 1d132 d232 0d342 1d142 d242 d342 0 , где $d_{ij}$ — длина ребра между вершинами $i$ и $j$. Площади граней $S_i$ находятся по формуле Герона для каждой треугольной грани. Подставляя в $r=3V/S$, получаем выражение $r$ через длины рёбер.
4) Если заданы отрезки (точки касания) на гранях — критерий существования и способ проверки.
Пусть для каждой грани задана точка касания $T_i$ (на соответствующей плоскости грани) и пусть $u_i$ — единичный наружный нормаль к этой грани. Для касательной сферы центр и радиус должны удовлетворять
$$I=T_i+r{u}_i,i=1,\dots ,4.$$ Отсюда для любых $i,j$ $$T_i-T_j=r(u_j-u_i).$$ Это векторные уравнения в ${\mathbb{R}}^3$. Следовательно:
- Необходимое и достаточное условие существования сферы, касающейся граней в точках $T_i$: система уравнений $T_i-T_j=r(u_j-u_i)$ совместна и даёт скалярное $r>0$; тогда $I$ определяется по $I=T_i+r{u}_i$.
- Единственность: при совместности решение $r,I$ единственно (линейная система имеет единственный набор неизвестных).
- Дополнительная проверка: полученный $I$ должен лежать в внутренности тетраэдра и точки $T_i$ действительно лежать в соответствующих гранях (а не вне границ треугольников).
Практический алгоритм: вычислить единичные нормали граней $u_i$ и координаты предложенных точек $T_i$; решить линейную систему (например, взять три независимые векторные разности $T_i-T_1$ и получить скаляр $r$); проверить $r>0$ и что все $I=T_i+r{u}_i$ совпадают и лежат внутри.
5) Замечания о взаимосвязи с длинами рёбер.
- Прямая формула «r прямо пропорционально некоторой комбинации длин рёбер» отсутствует: $r$ зависит через объём $V$ и площади граней $S_i$, которые в свою очередь выражаются через рёбра (через Кэли—Менгер и Герон).
- В частных симметричных случаях (правильный тетраэдр, тетраэдр с общей высотой и т.п.) эти формулы упрощаются и дают простые выражения для $r$ через ребро.
Это всё — необходимые инструменты: линейная система для доказательства существования/единственности и формула $r=3V/S$ (с переводом в выражение через длины рёбер при желании с помощью Кэли—Менгера и Герона).