Пусть вершины $A_i=(x_i,y_i)$, $i=1,\dots ,n$. Для точки $P=(x,y)$ рассматриваем сумму квадратов расстояний
$$S(P)=\sum _{i=1}^n((x-x_i{)}^2+(y-y_i{)}^2).$$ Разложим:
$$S(P)=n(x^2+y^2)-2x\sum _{i=1}^n{x}_i-2y\sum _{i=1}^n{y}_i+\sum _{i=1}^n(x_i^2+y_i^2).$$ Введём центр масс (средние координаты)
$$G=(\bar{x},\bar{y}),\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i,\bar{y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i.$$ Тогда после приведения получаем удобную форму
$$S(P)=n((x-\bar{x}{)}^2+(y-\bar{y}{)}^2)+\sum _{i=1}^n(x_i^2+y_i^2)-n({\bar{x}}^2+{\bar{y}}^2).$$ Заметим, что последняя постоянная равна ${\sum }_{i=1}^n|A_i-G{|}^2$, следовательно
$$S(P)=n|P-G{|}^2+\sum _{i=1}^n|A_i-G{|}^2.$$ Если задать значение $S(P)=k$ (фиксированное), то это эквивалентно
$$n|P-G{|}^2=k-\sum _{i=1}^n|A_i-G{|}^2.$$ Отсюда множество точек $P$ с $S(P)=k$ — окружность центра $G$ и радиуса
$$r=\sqrt{\frac{k-{\sum }_{i=1}^n|A_i-G{|}^2}{n}},$$ если выражение под корнем неотрицательно; иначе множество пусто. В координатах вершин можно записать радиус как
$$r=\sqrt{\frac{k-{\sum }_{i=1}^n(x_i^2+y_i^2)+n({\bar{x}}^2+{\bar{y}}^2)}{n}}.$$
Обобщение. Для любого конечного набора точек $A_1,\dots ,A_m$ та же формула верна: центр — средняя точка $G=(\frac{1}{m}\sum x_i,\frac{1}{m}\sum y_i)$, и
$$\sum _{i=1}^m|P-A_i{|}^2=m|P-G{|}^2+\sum _{i=1}^m|A_i-G{|}^2,$$ откуда множество точек с заданной суммой квадратов — окружность (или пусто) с радиусом
$$r=\sqrt{\frac{k-{\sum }_{i=1}^m|A_i-G{|}^2}{m}}.$$