Краткая ретроспектива и ключевые подходы
- Исходная проблема: в «Началах» Евклид (~III в. до н.э.) Пятый постулат формулировался громоздко и отличался от остальных аксиом — это побудило попытки вывести его из остальных аксиом.
- Ранние попытки (античность и средние века): Прокл (комментарии), мусульманские и персидские математики — Ибн аль‑Хайсам, Омар Хайям, Насир ад‑Дин ат‑Туси и др. — искали доказательства или заменяющие формулировки; вводились «туси‑пары» и локальные утверждения о равенстве углов.
- XVIII—начало XIX вв.: систематические попытки доказать постулат. Два главных метода:
1. Пытались вывести пятый постулат из канонических евклидовых аксиом (Legendre и др.).
2. Метод редукции в абсурд: предположить отрицание постулата и вывести противоречие — наиболее известные работы Saccheri (1733) и Lambert (1766). Saccheri развил три гипотезы и, не найдя противоречия для «гипотезы о тупых углах», фактически получил результаты, характерные для гиперболической геометрии, но пытался показать её невозможность.
Появление неевклидовых геометрий
- Гаусс (частные заметки, начало XIX в.) первым увидел логическую возможность альтернативы, но не опубликовал.
- Лобачевский (1829—1830) и Ф. Болyai (1832, приложение к работе отца) независимо разработали гиперболическую геометрию — систему, где через внешнюю точку проходит более чем одна параллель к данной прямой. Они дали аксиоматическую теорию и вычислили свойства треугольников и расстояний.
- Риман (лекция 1854) предложил другой неевклидов тип — эллиптическую (сферическую как частный случай) геометрию с отсутствием параллелей; ввёл понятие постоянной гауссовой кривизны и общую риманову геометрию.
- Модели и относительная согласованность: Белтрами (1868) построил локальную модель гиперболической геометрии на поверхности псевдосферы; Клейн и Пуанкаре (1870–1880‑е) дали проективные и аналитические модели (модель Клейна, модель Пуанкаре — диск и полуплоскость), что показало, что гиперболическая геометрия непротиворечива, если непротиворечива обычная евклидова — т.е. пятый постулат независим от остальных.
Формулировки и эквивалентность
- Важная эквивалентная формулировка: аксиома Плейфера — «через точку вне данной прямой проходит ровно одна прямая, не пересекающая данную» — логически эквивалентна пятому постулату в евклидовой аксиоматике.
- Независимость: показана через модели (отсутствие логического следования пятого постулата из остальных аксиом).
Основные математические последствия (кратко, с формулами)
- В гиперболической геометрии сумма углов треугольника меньше $\pi$: $\alpha +\beta +\gamma <\pi$. Площадь треугольника постоянной кривизны $K=-1/R^2$:
$$\text{Area}=R^2(\pi -(\alpha +\beta +\gamma )).$$ - В сферической/эллиптической геометрии сумма углов больше $\pi$: $\alpha +\beta +\gamma >\pi$; площадь треугольника радиуса $R$:
$$\text{Area}=R^2(\alpha +\beta +\gamma -\pi ).$$ - Появились понятия постоянной кривизны, геодезических, модели (Пуанкаре, Клейн), теории изометрий групп и связей с проективной и комплексной геометрией.
- Развитие аксиоматического подхода: Гильберт (1899) формализовал аксиомы геометрии и показал, как строить модели для исследования независимости аксиом.
Философские и методологические последствия
- Утрата единственного «априорного» характера евклидовой геометрии: до XIX в. (Кант) евклидова геометрия рассматривалась как синтетическое априорное знание о пространстве; открытие неевклидовых геометрий показало, что выбор геометрии — не логическое принуждение, а эмпирический/аксиоматический.
- Переосмысление роли аксиом: аксиомы — не «истины», а допущения, задающие систему; важна внутренняя непротиворечивость и модели. Это стимулировало развитие формализма и современной аксиоматической методики.
- Влияние на философию математики: укрепление формализма и логического анализа, изменение взглядов на математическую интуицию и на связь математики с опытом.
- Влияние на физику: риманова и неевклидовы идеи стали математической основой для общей теории относительности Эйнштейна (1915), где геометрия пространства-времени определяется экспериментально (измерением кривизны), а не заранее евклидова.
Короткий итог
- Проблема пятого постулата привела от столетий попыток «доказать» его к осознанию его независимости и к созданию полноценных альтернативных (неевклидовых) геометрий.
- Это изменение породило новые математические теории (геометрии постоянной кривизны, модели, теория групп симметрий), трансформировало аксиоматический метод и кардинально повлияло на философию и физику (включая общую теорию относительности).