Возьмём теорему Чевы в стандартной формулировке: в треугольнике $ABC$ точки $D\in BC,E\in CA,F\in AB$. Лучи $AD,BE,CF$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1$$ (ориентированные отрезки).
Ниже — минимум три разных подхода с краткими доказательствами и анализом.
1) Синтетическое доказательство через площади
- Доказательство: пусть лучи пересекаются в точке $O$. Площадь треугольников с общим основанием пропорциональна высотам, следовательно
$$\frac{BD}{DC}=\frac{[ABO]}{[AOC]},\frac{CE}{EA}=\frac{[BCO]}{[BAO]},\frac{AF}{FB}=\frac{[CAO]}{[CBO]}.$$ Перемножив три равенства, в числителях и знаменателях каждое из площадей встретится ровно два раза, значит произведение равно $1$. Обратное направление: если произведение равно $1$, то частные площадей согласуются так, что прямые имеют общую точку (можно восстановить точку пересечения как пересечение двух и проверить третью).
- Сильные стороны: ясно геометрическое содержание, не требует координат; удобно для задач с площадями, симметрией, доказательств свойств центров.
- Слабые стороны: не даёт явных координат или уравнений; менее удобен для обобщений (например, в трёхмерной или аналитической постановке).
- Применимость: идеален в олимпиадных геометрических задачах и при работе соотношениями площадей.
2) Координатный (аналитический) метод
- Постановка: положим в декартовой системе $A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1)$ (аффинное преобразование не меняет отношения на сторонах). Пусть
$$F=(x,0),D=(0,y),E=(1-t,t)$$ соответственно ($x,y,t\in \mathbb{R}$). Уравнение прямой $AD$: через $A$ и $D$ — $y_{line}=\frac{y}{0-0}x$ (в удобной форме находим пересечения). Найдём координату пересечения $AD\cap BE$ и потребуем, чтобы она лежала на $CF$; после упрощения получаем
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1.$$ (Альтернативно удобно использовать барицентрические координаты: для concurrency детерминант соответствующих коэффициентов равен нулю, что даёт ту же формулу.)
- Сильные стороны: даёт алгоритм вычисления, легко обобщается, удобен для компьютерной алгебры и проверки частных случаев.
- Слабые стороны: алгебра может быть громоздкой; теряется «чистая» геометрическая интуиция.
- Применимость: когда нужно получить численные значения, рассматривать параметры, обобщать на координатные теории (барицентрические, афинные) или соединять с аналитическими условиями.
3) Векторно-массная (mass points) и векторный подход
- Mass points (быстрое доказательство): присвоим вершинам массы $m_A,m_B,m_C$ так, чтобы, например,
$$\frac{BD}{DC}=\frac{m_C}{m_B},\frac{CE}{EA}=\frac{m_A}{m_C},\frac{AF}{FB}=\frac{m_B}{m_A}.$$ Тогда произведение трёх дробей равно $1$ очевидно. Обратно, при равенстве произведения можно подобрать массы (до множителя), дающие точку равновесия — точку пересечения.
- Векторный/барицентрический вариант: пусть $AD,BE,CF$ пересекаются в $O$. В барицентрических координатах $O$ имеет представления
$$O={\lambda }_{A}A+{\lambda }_{B}B+{\lambda }_{C}C$$ и соотношения вдоль сторон приводят к эквивалентному условию Ceva.
- Сильные стороны: очень быстрый инструментарий для многих задач; mass points даёт простые вычисления для отношений отрезков; векторы удобны для линейных обобщений.
- Слабые стороны: mass points — трюк, формально основанный на статике/барицентрах, иногда непрозрачен; векторный подход требует знакомых с барицентрическими/векторными координатами.
- Применимость: быстрые олимпиадные решения, задачи на соотношения отрезков, когда нужно составить систему масс или показать невозможность/возможность пересечения.
4) Комплексный/проективный взгляд (кратко)
- В комплексной плоскости или в проективной постановке можно сформулировать Ceva через кросс-отношения и однородные координаты; в проективных координатах условие concurrency эквивалентно равенству произведения трёх пар направляющих коэффициентов. Это часто даёт элегантные обобщения (например, три луча соотносятся через проективные преобразования).
- Сильные стороны: мощен при работе с кругами, проективными отображениями, при симметриях; даёт чистые алгебраические критерии.
- Слабые стороны: требует больше теоретической базы; может быть избыточен для простых задач.
Краткое резюме выбора метода
- Для чисто геометрических задач и интуитивных доказательств — синтетический (площади, подобие).
- Для расчётов, проверки и обобщений — координатный/аналитический.
- Для быстрых олимпиадных решений с соотношениями отрезков — mass points/векторный.
- Для задач, где вовлечены проективные или круговые преобразования — комплексный/проективный подход.
Если нужно, могу привести подробные пошаговые выкладки одного из указанных методов.