Краткий вывод (основание координат и условие). Поместим основание $BC$ на ось $x$ с центром в начале: $B(-\frac{a}{2},0),C(\frac{a}{2},0)$. Обозначим середину $M(0,0)$. Вершина $A$ имеет координаты $(x,h)$ (высота по модулю равна $h$, берём $h>0$). Медиана к основанию: $AM=m$, даёт уравнение
$$x^2+h^2=m^2\Rightarrow x=\pm \sqrt{m^2-h^2}.$$ Так как основание ограничено, проекция $A$ на $BC$ равна $(x,0)$ и должна лежать на отрезке $BC$, поэтому требуется
$$|x|\le \frac{a}{2}⟺m\ge h\text{и}{m}^2-h^2\le (\frac{a}{2}{)}^2.$$
Условия разрешимости и краткая классификация:
- Нет решений, если $m<h$ (тогда $x$ не вещественно).
- Нет решений, если $m\ge h$ но $m^2-h^2>(\frac{a}{2}{)}^2$ (точки пересечения круга и параллельной линии находятся вне проекции отрезка $BC$).
- Единственное (не с учётом симметрий) решение, если $m=h$ (тогда $x=0$, треугольник равнобедренный: $A(0,h)$).
- Два симметричных решения, если $m>h$ и $0<m^2-h^2<(\frac{a}{2}{)}^2$ (вершина в двух симметричных положениях $x=\pm \sqrt{m^2-h^2}$).
- Частный граничный случай: $m^2-h^2=(\frac{a}{2}{)}^2$. Тогда $x=\pm \frac{a}{2}$ — высота падает в конец основания (прямой угол у одного из концов). Формально допустимы два симметричных положения $A(\pm \frac{a}{2},h)$; если считать треугольники эквивалентными при переименовании концов основания, то это один класс (прямой треугольник).
Пояснение (обоснование): вершина $A$ обязана лежать на окружности радиуса $m$ с центром в $M$ (медиана) и на прямой, параллельной $BC$, на расстоянии $h$ от неё (условие высоты). Решения — точки пересечения этой окружности и этой прямой; аналитически это даёт указанное уравнение и неравенство $|x|\le a/2$.
Построение (алгоритм):
1. Проверить входные данные: $a>0,h>0,m>0$. Если $m<h$ — остановиться: решений нет.
2. На листе отложить отрезок $BC$ длины $a$. Найти и отметить середину $M$.
3. Построить окружность с центром в $M$ радиуса $m$.
4. Через линию $BC$ провести две прямые, параллельные ей, на расстоянии $h$ (верхнюю и нижнюю). (Обычно берут одну сторону, дающую вершину над основанием.)
5. Пересечения окружности и выбранной параллельной прямой дают возможные положения $A$.
- Нет пересечений → нет решений.
- Одна точка (касание) — единственный треугольник (случай $m=h$).
- Две точки — два симметричных треугольника; если одна из точек даёт проекцию вне отрезка $BC$, её отбрасывают (это соответствует условию $|x|\le a/2$).
6. Для найденной точки(ек) $A$ опустить перпендикуляр на $BC$ (уже будет длина $h$) и соединить $A$ с концами $B$ и $C$.
Вспомогательные формулы (при необходимости): если $x=\pm \sqrt{m^2-h^2}$, то длины боковых сторон
$$AB=\sqrt{(x+\frac{a}{2}{)}^2+h^2},AC=\sqrt{(x-\frac{a}{2}{)}^2+h^2}.$$
Вырожденные/пограничные случаи:
- $h=0$ — треугольник вырожден (все три точки на одной прямой); обычно исключается.
- $a=0$ — основание вырождено в точку; условие медианы и высоты несовместимо с обычным треугольником.
- $m=h$ — вершина над серединой: единственное (равнобедренное) решение.
- $m^2-h^2=(a/2{)}^2$ — высота падает в конец основания (прямой угол); симметричные положения апекса возможны (см. замечание о учёте эквивалентности при переименовании концов).
Это всё; при необходимости могу привести чертёжный пошаговый набор инструментов для циркуля-линейки.