Ключевое замечание: сечение плоскостью конуса даёт треугольник лишь в том случае, когда плоскость проходит через вершину конуса. Во всех других положениях сечение — коника (эллипс, парабола, гипербола), для которой понятие «радиус описанной окружности» треугольника неприменимо.
Пусть дан правильный круговой конус с вершиной в точке $A$, осью AO, основанием — окружностью радиуса $R_b$ в плоскости $z=H$. Все точки окружности основания находятся на одном расстоянии от вершины:
$$s=|AB|=\sqrt{H^2+R_b^2}.$$ Возьмём плоскость, проходящую через вершину $A$. Она пересекает окружность основания по хорде длины
$$c=2R_b\sin \phi ,$$ где $2\phi$ — центральный угол, которому соответстует эта хорда. Тогда сечение конуса этой плоскостью — равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $s,s$ и основанием $c$.
Радиус описанной окружности такого треугольника выражается через длины сторон или через высоту; удобная формула
$$R_{\mathrm{circ}}=\frac{s^2}{2h},h=\sqrt{s^2-(c/2{)}^2}.$$ Подставляя $c$ и $s$,
$$R_{\mathrm{circ}}(\phi )=\frac{s^2}{2\sqrt{s^2-R_b^2{\sin }^2\phi }}=\frac{H^2+R_b^2}{2\sqrt{H^2+R_b^2-R_b^2{\sin }^2\phi }}.$$
Свойства и экстремумы:
- Параметр $\phi$ меняется от $0$ (хорда стремится к точке) до $\pi /2$ (хорда — диаметр).
- $R_{\mathrm{circ}}(\phi )$ монотонно возрастает при увеличении $\phi$ (поскольку знаменатель убывает при росте $\sin \phi$).
- Минимум достигается при $\phi =0$:
$$R_{\min }=\frac{s}{2}=\frac{\sqrt{H^2+R_b^2}}{2}.$$ Это предельный (почти вырожденный) треугольник с очень малым основанием.
- Максимум при $\phi =\pi /2$ (хорда — диаметр, плоскость содержит ось конуса):
$$R_{\max }=\frac{s^2}{2\sqrt{s^2-R_b^2}}=\frac{H^2+R_b^2}{2H}=\frac{H}{2}+\frac{R_b^2}{2H}.$$ В этом случае треугольник симметричен относительно оси конуса, центр описанной окружности лежит на оси.
Геометрические зависимости и переход к сечению, параллельному основе:
- Как уже сказано, для получения треугольника плоскость обязана проходить через вершину; плоскость, параллельная основе, не даёт треугольника (даёт окружность радиуса $r_{\parallel }$, причём для плоскости на расстоянии $z$ от вершины радиус сечения $=z\tan \theta$, где $\theta$ — угол при вершине конуса).
- Переход «от сечения через вершину к сечению параллельно основе» нельзя осуществить оставаясь в классе треугольных сечений: при непрерывном изменении положения плоскости, уходящем от прохождения через вершину, треугольник исчезает и появляется коника; предельных значений радиуса описанной окружности в этом процессе (как значения для сечений, не проходящих через вершину) нет — понятие перестаёт применяться.
- Тем не менее можно рассмотреть семейство плоскостей через вершину, которые приближаются по ориентации к некоторой фиксированной ориентации; их радиусы описанных окружностей меняются по формуле выше и при предельных ориентациях стремятся к соответствующим значениям $R_{\mathrm{circ}}$. Если ориентация приближается к положению «параллельно основе», то понятие «приближение ориентации при фиксированной проходящей через вершину плоскости» не даёт плоскости, параллельной основе (параллельность основе исключает прохождение через вершину).
Краткая интуиция: радиус описанной окружности тем больше, чем „шире“ основание треугольника (чем больше хорда основания), максимум при диаметральной хорде (плоскость через ось), минимум при вырождающемся основании; численно всё выражается однозначно через $H$ и $R_b$ формулами выше.