Кратко: центры всех окружностей, проходящих через фиксированную точку $P$ и касающихся двух непараллельных прямых $l_1,l_2$, лежат на биссектрисах углов, образованных $l_1$ и $l_2$, и одновременно удовлетворяют уравнению параболы с фокусом в $P$ и директрисой одной из этих прямых. Аналитически это даёт пересечения двух прямых (биссектрис) с одной параболой, поэтому максимум — по две точки на каждой биссектрисе, всего не более четырёх центров. Ниже — пояснение и разбор случаев.
1) Общая постановка. Пусть центр искомой окружности — точка $X=(x,y)$, радиус $r$. Касание к $l_1$ и $l_2$ даёт
$$\mathrm{dist}(X,l_1)=r,\mathrm{dist}(X,l_2)=r,$$ следовательно
$$\mathrm{dist}(X,l_1)=\mathrm{dist}(X,l_2).$$ Это условие означает, что $X$ лежит на одной из двух биссектрис угла между $l_1$ и $l_2$ (внутренняя или внешняя). Дальше требование, что окружность проходит через $P$, даёт
$$|XP|=r=\mathrm{dist}(X,l_1).$$ Итого система
$$\{\begin{array}{l}\mathrm{dist}(X,l_1)=\mathrm{dist}(X,l_2),\\ |XP|=\mathrm{dist}(X,l_1).\end{array}$$ Первое условие — уравнение биссектрис, второе — определение параболы с фокусом $P$ и директрисой $l_1$ (или, эквивалентно, директрисой $l_2$, поскольку на биссектрисе расстояния до $l_1$ и $l_2$ равны). Следовательно, множество центров равно
$$({\text{биссектриса}}_1\cap {\text{парабола}}_{(P,l_1)})\cup ({\text{биссектриса}}_2\cap {\text{парабола}}_{(P,l_1)}).$$
2) Аналитическое обоснование числа решений. Пусть уравнения прямых заданы как $l_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$, $l_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$. Биссектрисы задаются нормализованно:
$$\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}.$$ Парабола с фокусом $P=(x_P,y_P)$ и директрисой $l_1$ задаётся
$$\sqrt{(x-x_P{)}^2+(y-y_P{)}^2}=\frac{|a_{1}x+b_{1}y+c_1|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}.$$ Подставляя линейное уравнение биссектрисы (одну из двух) в уравнение параболы и возводя в квадрат, получаем квадратичное уравнение по параметру точки на биссектрисе. Значит для каждой биссектрисы возможно не более двух решений; вместе не более четырёх.
3) Различные случаи (коротко):
- Общий случай ( $P$ не лежит на $l_1$ и не на $l_2$ и $P\ne l_1\cap l_2$ ): на каждой биссектрисе пересечение с параболой даёт 0, 1 (касание) или 2 точки → в сумме 0..4 центров. Геометрически это означает, что может существовать от нуля до четырёх окружностей.
- $P$ лежит на одной из прямых, скажем $P\in l_1$, но $P\notin l_2$: в этом случае фокус параболы лежит на директрисе, и уравнение параболы упрощается. Конкретно для $P\in l_1$ парабола превращается в прямую, перпендикулярную $l_1$ через $P$ (решение уравнения $\sqrt{(x-x_P{)}^2+(y-y_P{)}^2}=|\text{dist to}{l}_1|$ даёт эту прямую). Тогда центры — пересечения этой перпендикулярной прямой с двумя биссектрисами (0,1 или 2 точки).
- $P$ совпадает с точкой пересечения $O=l_1\cap l_2$: тогда $P\in l_1$ и $P\in l_2$. Аналогично предыдущему, парабола по директрисе $l_1$ — это перпендикуляр к $l_1$ через $O$, и пересечения с биссектрисами дают конечное число решений (обычно не более 2 на биссектрису; всего не более 4). Никаких бесконечных семейств окружностей не возникает.
- Внутреннее/внешнее касание: выбор знака в уравнении биссектрис ($+$ или $-$) соответствует тому, касаются ли окружности обеих прямых с одной стороны или с противоположных сторон (центры на внутренней или внешней биссектрисе). Это даёт две независимые семейства пересечений, отсюда максимум по два решения в каждом.
4) Примечания и примеры вырождений:
- Если на какой-то биссектрисе парабола пролегает так, что касание с ней даёт кратный корень, получаем ровно одно (кратное) решение на этой биссектрисе.
- Параметрический вид для численных вычислений: задать бискектрису в виде $X(t)=O+t\mathbf{u}$ (вектор единичный вдоль биссектрисы), подставить в
$$\sqrt{(X(t)-P)\cdot (X(t)-P)}=\frac{|a_1{X}_x(t)+b_1{X}_y(t)+c_1|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}$$ и получить квадратное уравнение по $t$.
Итого: геометрическое место центров = пересечение биссектрис угла между $l_1$ и $l_2$ с параболой(ами) фокусом $P$ и директрисой $l_1$ (эквивалентно $l_2$). Каждая биссектриса даёт не более двух центров, всего не более четырёх; особые положения $P$ (на прямой или в точке пересечения) приводят к упрощённым (вплоть до прямой) параболам и соответственно к менее общим (0..2) решениям.