Определение и формула.
- Инверсия с центром $O$ и радиусом $R$ переводит точку $P\ne O$ в точку $P^{\prime }$ на луче $OP$ так, что $OP\cdot O{P}^{\prime }=R^2$.
- При $O$ в начале координат: $p^{\prime }=\frac{R^2}{\Vert p{\Vert }^2}p$. В комплексной записи: $z^{\prime }=\frac{R^2}{\overline{z}}$.
Классификация образов (как что переходит).
- Окружность, не проходящая через $O$, переходит в окружность, не проходящую через $O$.
- Окружность, проходящая через $O$, переходит в прямую (не проходящую через $O$).
- Прямая, не проходящая через $O$, переходит в окружность, проходящую через $O$.
- Прямая, проходящая через $O$, остаётся той же прямой (как множество).
Явные формулы для образа окружности.
Пусть исходная окружность имеет центр на расстоянии $d=OC$ и радиус $r$. Тогда образ — окружность с центром на луче $OC$ и
$$d^{\prime }=\frac{R^{2}d}{d^2-r^2},r^{\prime }=\frac{R^{2}r}{|d^2-r^2|}.$$ Если $d=r$ (окружность проходит через $O$), формулы дают деление на ноль — это соответствует тому, что образ — прямая. Для прямой на расстоянии $h$ от $O$ образ — окружность через $O$ с центром на перпендикуляре на расстоянии
$$d^{\prime }=\frac{R^2}{2h},$$ и радиусом $r^{\prime }=\frac{R^2}{2h}$.
Углы, касание, ортогональность.
- Инверсия антиконформна: сохраняет величину угла между двумя кривыми в точке пересечения, но обращает ориентацию (знак угла). Следовательно касательные и касательность сохраняются (если две кривые касаются, их образы тоже касаются).
- Окружность, ортогональная инверсии (т. е. всякая её точка удовлетворяет $O{P}^2=R^2$ в нужной форме), переводится в себя (как множество).
Типичные сведения для конфигураций, которые вы просили:
- Пара окружностей:
- Обе не проходят через $O$: переходят в пару окружностей; угол пересечения сохраняется.
- Одна проходит через $O$: та, что проходит через $O$, станет прямой; в результате задача сводится к пересечению/касанию окружности и прямой.
- Обе проходят через $O$: обе станут прямыми.
- Прямая и окружность:
- Прямая через $O$ остаётся прямой; окружность (если не проходит через $O$) остаётся окружностью — угол сохранится.
- Прямая не через $O$ ↔ окружность через $O$; касание переходит в касание.
- Треугольник (вершины $A,B,C$):
- Образы вершин $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ — точки; стороны треугольника переходят в дуги окружностей (либо прямые, если соответствующая сторона проходила через $O$). Углы треугольника в вершинах, отличных от $O$, сохраняют величину (ориентация меняется), поэтому инверсия часто используется для задач про углы в треугольнике.
Примеры, где инверсия упрощает задачу (кратко и по шагам).
1) Докажите: угол между хордой и касательной равен углу в противолежащей дуге.
- Инвертируйте относительно окружности с центром в точке касания $T$. Касательная — прямая через центр инверсии, остаётся прямой; описанная окружность (проходящая через $T$) превратится в прямую. Задача превращается в очевидное равенство углов между прямыми.
2) Задача аполлониевой природы (построить окружность, касающуюся двух окружностей и прямой или третьей окружности).
- Выберите инверсию с центром в точке касания одной из окружностей (или в точке, где удобно): часто пары касательных окружностей перейдут в параллельные прямые или в более простую систему прямых и окружностей. Тогда поиск окружности, касающейся двух окружностей и прямой, сведётся к построению окружности касательной к двум прямым (т.е. вписанного круга между параллельными прямыми) и/или к простой геометрии; затем инвертируйте обратно.
3) Конфигурации трёх взаимно касающихся окружностей (теорема Дескарта/циркулы Содди).
- Инверсия в точке касания двух окружностей превращает их в параллельные прямые; задача нахождения четвёртой касательной окружности сводится к нахождению окружности между двумя параллельными прямыми и третьей (упрощение вычислений и построений).
Краткие практические советы.
- Выбирайте центр инверсии в заметной точке: точке касания, вершине треугольника, пересечении окружностей — это чаще всего превращает сложные окружности в прямые.
- Проверяйте, не превращается ли нужная вам к доказательству кривая в потоковую (прямую) — тогда задача обычно становится тривиальной.
- Помните: инверсия упрощает угловые утверждения (антиконформность) и касательность, но не сохраняет расстояния.
Если нужно, могу привести одно конкретное построение с шагами (например, построение окружности, касающейся двух данных окружностей и прямой), или вывести формулы преобразования центра/радиуса для конкретного числового примера.