Кратко: множество всех таких точек — весь ромб (включая границу). Доказательство:
1) Для двух параллельных прямых сумма расстояний от точки, лежащей между ними, до этих прямых равна расстоянию между прямыми. Пусть
$h_1$ — расстояние между прямыми $AB$ и $CD$, а $h_2$ — расстояние между прямыми $BC$ и $AD$. Тогда для любой точки $P$ внутри ромба
$$d(P,AB)+d(P,CD)=h_1,d(P,BC)+d(P,AD)=h_2.$$ Условие задачи равносильно $h_1=h_2$.
2) Вычислим эти расстояния через площадь ромба $S$. По определению площади
$$S=AB\cdot h_1=BC\cdot h_2.$$ В ромбе $AB=BC$, следовательно $h_1=h_2$. Отсюда для любой точки $P$ внутри (или на границе) ромба выполняется
$$d(P,AB)+d(P,CD)=d(P,BC)+d(P,AD).$$
Вывод: искомое множество — весь ромб (включая стороны).