Ключевая идея (универсальное сокращение). Для линии $L_b:y=kx+b$ введём линейную форму
$$F(x,y)=y-kx.$$ Тогда $L_b$ пересекает $S$ в ровно $m$ точках тогда и только тогда, когда уровень $F^{-1}(b)\cap S$ содержит ровно $m$ точек. Обозначим
$$B_m=\{b\in \mathbb{R}:|F^{-1}(b)\cap S|=m\}.$$ Дальше всё сводится к изучению уровней функции $F$ на множестве $S$.
Основные случаи и свойства
1) Дискретное (конечное или счётное) $S$.
- Если $S=\{p_i=(x_i,y_i){\}}_{i\in I}$, то каждому $p_i$ соответствует число $b_i=y_i-k{x}_i$, и
$$B_m=\{b\in \mathbb{R}:\#\{i:b_i=b\}=m\}.$$ - Следствия: $B_m$ — как правило счётное (в частности, конечное при конечном $S$), поэтому имеет меру Лебега ноль; топологически — счётное множество (в стандартном случае разреженное, не содержит интервалов).
2) Непрерывные одномерные множества (кривая, график функции, образ параметризации).
- Пусть $S$ — образ непрерывной параметризации $t\mapsto (x(t),y(t))$ и положим $g(t)=y(t)-kx(t)$. Тогда $b\in B_m$ эквивалентно тому, что у уравнения
$$g(t)=b$$ ровно $m$ решений (с учётом параметризации, если кривая самопересекается — разные параметры дают разные точки).
- Если $g$ непрерывна, то множество значений $\mathrm{Im}g$ — интервал (или объединение интервалов); числа решений меняются только при касаниях/слияниях корней.
- Если $g$ гладкая ($C^1$) и все пересечения трансверсальны (простые корни), то значения $b$, для которых корни просты, являются регулярными и составляют открытое множество; край границ этих открытых компонент — особые (критические) значения, где возникает касание (кратный корень). По теореме Сарда множество критических значений имеет меру ноль. Следовательно в типичном гладком случае каждое множество $B_m$ (для фиксированного конечного $m$) — объединение открытых интервалов внутри $\mathrm{Im}g$, границы этих множеств имеют меру ноль.
3) Множества с ненулевой площадью (имеют непустой внутренний слой).
- Если $S$ содержит непустой открытый кусок плоскости, то для всех $b$ из некоторого интервала пересечение $F^{-1}(b)\cap S$ содержит отрезы (несчётно бесконечно много точек). Поэтому для конечного $m$ соответствующее $B_m$ обычно пусто. Более формально: при наличии внутренней области типично $|S\cap L_b|=\infty$ для множества $b$ положительной меры.
4) Сложные, фрактальные и прочие множества.
- В общем случае функция $N(b):=|F^{-1}(b)\cap S|$ является бифуркационной характеристикой; множества $B_m=\{b:N(b)=m\}$ являются борелевскими (т.к. $F$ непрерывна на плоскости) и, в зависимости от структуры $S$, могут быть счётными, смешанными или содержать интервалы.
- Для множеств с малой размерностью (хасдорфовой размерности <1) часто почти все $b$ дают $N(b)=0$; для размерности =1 поведение как у кривой; для размерности =2 — как в п.3.
Меровые и топологические утверждения (кратко)
- Для дискретного $S$: $B_m$ имеет меру $0$ и не содержит интервалов.
- Для гладкой 1‑мерной кривой: регулярные значения дают открытые компоненты $B_m$; граничные (критические) значения имеют меру $0$ (Сарда), поэтому почти все $b$ дают «устойчивое» число пересечений.
- Для множеств с ненулевой площадью: множество $b$ с конечным числом пересечений обычно имеет меру $0$ или пусто.
- В общем $B_m$ — борелевское множество; его топологический тип зависит от структуры проекции $F(S)$ и кратностей проекции.
Практические методы выяснения $B_m$ - Дискретное $S$: посчитать значения $b_i=y_i-k{x}_i$, составить таблицу кратностей; это точный алгоритм.
- Параметризуемая кривая $t\mapsto (x(t),y(t))$: решить уравнение $g(t)=y(t)-kx(t)=b$ (аналитически или численно), проанализировать кратные корни, следить за изменением корней при вариации $b$.
- Алгебраические кривые: исключением переменных (результант, дискриминант) получить уравнение для $b$, которое даёт критические значения (границы смены числа пересечений); между этими значениями число пересечений постоянно.
- Численные и статистические методы: отслеживание корней (continuation), вычисление числа пересечений для гридов по $b$; при наличии шума учитывать, что кратные корни нестабильны.
Примеры для интуиции
- $S$ — конечный набор точек: $B_m$ — конечное/счётное множество.
- $S$ — граф функции $y=g(x)$ с $g\in C^1$: количество пересечений с $y=kx+b$ равно числу корней $g(x)-kx-b$; для «обычных» $g$ значения $b$ с данным конечным числом корней образуют объединения интервалов, границы — касания.
- $S$ — диск: для многих $b$ пересечение — отрезок, значит $B_m=\varnothing$ для конечных $m$.
Короткая инструкция: чтобы исследовать конкретное $S$ 1. Введите $F(x,y)=y-kx$.
2. Найдите образ $F(S)\subset \mathbb{R}$ и для каждого $b\in F(S)$ изучите структуру уровня $F^{-1}(b)\cap S$.
3. Используйте параметризацию, алгебраические методы или подсчёт значений для дискретных наборов; критические/градиентные точки дают границы изменения числа пересечений.
Итого: задача сводится к анализу уровней функции $F$ на $S$. Для дискретных $S$ множества $B_m$ счётные и меры ноль; для гладких кривых $B_m$ обычно — объединения интервалов с критической границей меры ноль (Sard); для множеств с площадью пересечений конечного размера обычно нет (они редки).