Обозначим центр сферы через $O$, радиус через $R$, середину отрезка $AB$ через $M$. Рассматриваем множество
$$S=\{P\in \text{поверхность сферы}\mid \exists \ell \text{прямая через}M\text{такая, что}P\in \ell \}.$$
1) Покажем, что $S$ содержится в поверхности сферы: по определению все точки пересечения прямых через $M$ с поверхностью лежат на поверхности.
2) Обратное включение: возьмём любую точку $P$ на поверхности сферы. Прямая $MP$ проходит через $M$ и пересекает поверхность сферы в точке $P$ (и, возможно, ещё в симметричной относительно $M$ точке). Значит $P\in S$.
Отсюда $S$ совпадает со всей поверхностью сферы. (Особый случай: если прямая через $M$ касается сферы, пересечение даёт одну точку — это просто частный случай.)