Краткое уточнение: условие эквивалентно требованию
$$\mathrm{Per}(ABQ)=\mathrm{Per}(APC)⟺AB+BQ+AQ=AP+PC+AC,$$ то есть для $Q\in BC$ нужно, чтобы
$$BQ+AQ=K,K:=AP+PC+AC-AB$$ (число $K$ известно по заданным точкам).
Предложу и сравню три подхода.
1) Геометрическая конструкция (геометрическая интуиция / «струнный» метод)
- Идея: множество точек $X$ таких, что $AX+XB=K$, — это эллипс с фокусами $A$ и $B$. Требуется пересечение этого эллипса с прямой $BC$.
- Практическая конструкция:
- На плоскости натянуть нить на двух гвоздях в точках $A$ и $B$ длиной $K$ и описать эллипс; пересечение нитевой кривой с $BC$ даёт точки $Q$.
- Или с помощью компьютерной графики/кабинетного чертежа построить эллипс (или аппроксимировать).
- Доказательство корректности: по определению эллипса сумма расстояний до фокусов постоянна и равна $K$.
- Плюсы: очень наглядно, легко демонстрировать; инженерный/практический метод.
- Минусы: классической строгой конструкции циркулем и линейкой построить общий эллипс точно нельзя; рабочий метод — приближённый (нить) или с помощью инструментов САПР. Требует понимания эллипса.
- Уровень: удобен для средней школы (демонстрация), технических классов и практических работ; для строгих олимпиадных доказательств — недостаточен без дополнительных аргументов.
2) Аналитический метод (координаты; частный случай — параметризация $Q$ на $BC$)
- Поставим систему координат так, чтобы $B=(0,0)$, $C=(a,0)$ ($a=|BC|$), $A=(x_A,y_A)$, $P=(x_P,y_P)$. Параметр $Q=(u,0)$, $0\le u\le a$.
- Условие становится скалярным:
$$u+\sqrt{(u-x_A{)}^2+y_A^2}=K,$$ где $K$ определён выше и не зависит от $u$.
- Решение: вынесем корень и возведём в квадрат:
$$(u-x_A{)}^2+y_A^2=(K-u{)}^2.$$ После упрощения получаем линейное уравнение для $u$:
$$u(2K-2x_A)=K^2-(x_A^2+y_A^2).$$ При $K\ne x_A$ имеем явную формулу
$$u=\frac{K^2-(x_A^2+y_A^2)}{2(K-x_A)}.$$ Если $K=x_A$ — разобрать отдельно (проверить допустимость).
- Плюсы: даёт точное алгебраическое выражение для позиции $Q$; можно проверить единственность (функция монотонна по $u$). Подходит для численной реализации и для строгого вывода единственности решения.
- Минусы: требует навыков координатной геометрии и алгебры; выражение использует координаты точек, надо следить за вырожденными случаями.
- Уровень: хорош для старших классов/университета; пригоден для олимпиадников, информатиков и на САПР.
3) Численный / итерационный метод (бисекция, Ньютона)
- Функция для точки $Q(u)$ на отрезке $BC$:
$$f(u)=(AB+u+\sqrt{(u-x_A{)}^2+y_A^2})-(AP+PC+AC).$$ Ищем корень $f(u)=0$ на $u\in [0,a]$. (Можно эквивалентно работать с $g(u)=u+\sqrt{(u-x_A{)}^2+y_A^2}-K$.)
- Алгоритм бисекции:
- Вычислить $f(0)$ и $f(a)$; по непрерывности и поочерёдной проверке знаков гарантируется один корень (левосторонняя монотонность).
- Итеративно делить отрезок пополам до желаемой точности.
- Метод Ньютона: можно применить к $g(u)$ с начальным приближением; сходится быстрее при хорошей начальной оценке.
- Плюсы: простая реализация на калькуляторе/компьютере; даёт любую нужную точность; устойчиво (бисекция).
- Минусы: нет «чисто геометрической» постройки без вычислений; требует вычислений расстояний и итераций.
- Уровень: подходит для всех уровней при использовании калькулятора/компьютера; бисекция — доступна ученикам средней школы.
Сравнение и практическая выполнимость
- Наглядность и быстрый результат в классе: геометрический (нить, моделирование эллипса). Подходит для демонстрации и аппроксимации.
- Строгость и точный аналитический ответ: координатный/барицентрический метод; даёт формулу для $Q$ и математическое доказательство единственности. Требует алгебры и работы с координатами.
- Удобство на компьютере/для реальных приложений: численные методы (бисекция/Ньютон), просты в реализации и точны.
- Для разных уровней:
- начальная/младшая школа: показать идею (нить/модель), без формализмов;
- старшая школа / олимпиадники: аналитический вывод в координатах (или барицентрический модуль, если умеют с ними обращаться); можно обсуждать единственность и вырожденные случаи;
- университет / инженерия: численные методы и программная реализация; при необходимости комбинировать аналитическое начальное приближение с быстрым методом Ньютона.
Короткая рекомендация: для ручной работы и учебной демонстрации — нитевой (эллипс) метод; для строгого решения и доказательств — аналитика (координаты, формула для $u$); для вычислений высокой точности — бисекция/Ньютон на отрезке $BC$.